Functies en grafieken: Relaties en functies
Voorbeeld 1 van een lineair verband: lengtevoorspelling
In natuurwetenschappen werkt men vaak met wiskundige modellen die experimentele verbanden tussen grootheden beschrijven en het mogelijk maken om processen te verklaren of voorspellingen te doen. De eenvoudigste modellen zijn in de vorm van wiskundige formules. Het volgende voorbeeld van een lineair verband tussen twee grootheden stamt uit wiskundige modellering van menselijke groei en betreft het verband tussen de lengte van een meisje bij menarche en haar lengte op volwassen leeftijd.
Experimenteel is vastgesteld dat bij meisjes de lengte op het tijdstip waarop de eerste menstruatie optreedt (menarche) een goede graadmeter is voor de te verwachten eindlengte. Op de website www.medal.org van het Medical Algorithms Project is de volgende wiskundige formule te vinden. \[\mathrm{eindlengte\;(cm)} = a\times \mathrm{lengte\;bij\;menarche\; (cm)}+b,\] waarbij de constanten \(a\) en \(b\) uit onderstaande tabel genomen worden op basis van de leeftijd waarop de eerste menstruatie optreedt. \[\begin{array}{|r|r|r|}\hline
\mathit{leeftijd\;bij} & & \\
\mathit{menarche\;(jaar)} & a & b \\ \hline
10 & 0.975 & 15.6 \\
10.5 & 0.976 & 14.7 \\
11 & 0.969 & 14.9 \\
12 & 0.970 & 13.1 \\
12.5 & 0.967 & 13.1 \\
13 & 0.965 & 12.6 \\
13.5 & 0.968 & 11.4 \\
14 & 0.966 & 10.8 \\
14.5 & 0.968 & 9.7 \\
15 & 0.968 & 8.8\\
15.5 & 0.975 & 7.0 \\
16 & 0.977 & 5.8 \\ \hline
\end{array}\] Een concreet geval is de lengtevoorspelling voor meisjes met een menarche-leeftijd van 13 jaar: \[ \mathrm{eindlengte\;(cm)} = 0.965\times \mathrm{lengte\;bij\;menarche\; (cm)}+12.6\]
In bovenstaande concrete formule \[\mathrm{eindlengte\;(cm)} = 0.965\times \mathrm{lengte\;bij\;menarche\; (cm)}+12.6\] noemen we de \(\mathrm{lengte\;bij\;menarche}\) de onafhankelijke variabele, omdat het een variabele is waarvan de waarde vrij te kiezen is. De \(\mathrm{eindlengte}\) is de afhankelijke variabele, omdat de waarde afhangt van de waarde die de onafhankelijke variabele heeft.
Maar ook als we de algemene formule \[\mathrm{eindlengte} = a\times \mathrm{lengte\;bij\;menarche}+b\] hanteren, dan spreken we nog steeds van een lineair verband tussen eindlengte en lengte bij menarche; de variabelen \(a\) en \(b\) zijn parameters, die in dit geval leeftijdsgebonden constanten zijn. In dit voorbeeld is de relatie dus op te vatten als een functie, namelijk \(\mathrm{eindlengte}\) is een functie van \(\mathrm{lengte\;bij\;menarche}\).
