Functies en grafieken: Relaties en functies
Een impliciet verband
In het vorige voorbeeld over bloedalcoholconcentratie (BAC) op tijdstip \(t\) na alcoholconsumptie, is BAC een functie van \(t\), genoteerd als \[\mathrm{BAC}=\frac{D}{r\cdot G}-\beta\cdot t\] De afhankelijke variabele staat hierin expliciet geschreven, dat wil zeggen dat de afhankelijke variabele geïsoleerd aan de linkerkant van de formule staat. Dit ben je gewend in wiskunde, waarin bijvoorbeeld de kwadraatfunctie vaak genoteerd worden als \(y=x^2\), of in natuurkunde als bijvoorbeeld de afgelegde weg \(s\) in tijdsduur \(t\) gegeven wordt door de formule \(s=v\times t\). Veel relaties worden evenwel niet zo expliciet als functie gegeven. Een voorbeeld:
De lenzenformule voor een lens met een brandpuntsafstand \(f\) is \[\frac{1}{b}+\frac{1}{v}=\frac{1}{f}\] waarin \(v\) de voorwerpsafstand is en \(b\) de beeldafstand.
Dit heet een impliciet verband tussen grootheden. Soms is zo'n verband een functie, maar lang niet altijd: denk bijvoorbeeld aan de vergelijking voor de eenheidscirkel \(x^2+y^2=1\), waarin \(y\) niet als functie van \(x\) kan geschreven worden).
Een relatie tussen twee variabelen \(x\) en \(y\), waarbij \(x\) als onafhankelijke variabele optreedt, is een functie \(y=y(x)\) als bij elke toelaatbare waarde voor \(x\) precies één waarde voor \(y\) hoort. Elke toelaatbare waarde voor \(x\) noemt men een origineel; elke bijpassende waarde voor \(y\) heet dan de functiewaarde van dat origineel. Een functie verbindt dus op eenduidige wijze elk origineel met een functiewaarde. Alle originelen bij elkaar vormen het domein van de functie en alle functiewaarden die kunnen voorkomen vormen samen het bereik van de functie.
Bij de absolute waarde van een reëel getal verwaarlozen we simpelweg het teken van dat getal. De absolute waarde functie, genoteerd met rechte lijnen \(|\dots|\), kun je als volgt definiëren: \[|x|=\left\{\begin{array}{rl} x & \text{als }x\ge 0\\ -x & \text{als }x\lt 0\end{array}\right.\] Deze functie heeft als domein alle reële getallen (\(\mathbb{R}\)) en als beeld alle niet-negatieve reële getallen.
