Isoleren van een variabele

Functies en grafieken: Relaties en functies

Isoleren van een variabele

Een impliciet verband tussen variabelen herschrijven in een vorm waarbij één van de variabelen, zeg $v$ , in zijn eentje aan de linkerkant van een vergelijking staat, d.w.z. een vergelijking van de vorm $v = \mathrm{formule\;zonder\;}v$ creëren, heet het vrijmaken of isoleren van de variabele $v\text.$ Onderstaand voorbeeld laat zien hoe dit in zijn werk kan gaan.

In de relatie $\displaystyle y=\frac{9x}{11x-4}$ zie je meteen dat $y$ een functie van $x$ is.
Is $x$ nu ook een functie van $y$ en, zo ja, wat is het functievoorschrift dan?
Met andere woorden, kun je $x$ uitdrukken in $y$ in de vorm $x=\mathrm{formule\;in\;} y$ .

Je kunt de oplossing ook bereiken door tussenstappen in de vorm van vergelijkingen in te toetsen:
je ziet dan steeds of je nog op de goede weg bent,
maar uiteindelijk moet je de vergelijking in de vorm $x=\ldots\;$ zien te krijgen.

Je probeert de variabele $x$ te isoleren in het gegeven verband $\displaystyle y=\frac{9x}{11x-4}$ .
Vermenigvuldig links en rechts met $11x-4$ en vereenvoudig:

$\begin{aligned} (11x-4)y &= (11x-4)\cdot \frac{9x}{(11x-4)}\\ \\ 11xy-4y&=9x \end{aligned}$ Je hebt dan een vergelijking zonder noemers gekregen en je hoeft voorlopig alleen veeltermvergelijkingen te manipuleren.
Zet alle termen met $x$ aan de linkerkant, breng alle termen zonder $x$ naar de rechterkant en ontbind in factoren:

$\begin{aligned} 11xy-9x&= 4y\\ \\ x(11y-9)&=4y \end{aligned}$ Delen door $11y-9$ geeft de gevraagde formulevorm:

$x=\frac{4y}{11y-9}$ Dit kan gelezen worden als een functievoorschrift van $x$ in $y.$

Nieuw voorbeeld

Bovenstaand voorbeeld lijkt misschien gekunsteld, maar heeft een directe toepassing in de celbiologie.

Stel dat in experiment waarin een klein molecuul zich bindt met een membraaneiwit blijkt dat de concentratie $b$ van gebonden moleculen als volgt gerelateerd is aan de concentratie $c$ van ongebonden moleculen

$b=\frac{E_0\cdot c}{K+c}$ waarbij $E_0$ de totale eiwitconcentratie is en $K$ een dissociatieconstante is. Stel dat de parameters $E_0, K$ en de concentratie $b$ bekend zijn, dan kunnen we de formule gebruiken om $c$ uit te rekenen. In plaats van dit voor verschillende waarden van $b$ steeds opnieuw te doen is het handiger om $c$ als functie van $b$ te schrijven. Dit kan als volgt:

$\begin{aligned} b=\frac{E_0\cdot c}{K+c} &\implies b\cdot (K+c)=E_0\cdot c &\blue{\text{breuk weggewerkt}} \\ \\ &\implies b\cdot K+b\cdot c=E_0\cdot c &\blue{\text{haakjes uitgewerkt}}\\ \\ &\implies b\cdot K = E_0\cdot c - b\cdot c &\blue{\text{alles met }c\text{ naar rechts}}\\ \\ &\implies b\cdot K = (E_0-b)\cdot c &\blue{\text{ontbonden in factoren}}\\ \\ &\implies \frac{b\cdot K}{(E_0-b)}=c &\blue{\text{isolatie van }c}\\ \\ &\implies c=\frac{K\cdot b}{(E_0-b)}&\blue{\text{links en rechts verwisseld}}\end{aligned}$

We gaan in de rest van dit hoofdstuk het concept functie en gerelateerde concepten bespreken. In de volgende drie hoofdstukken gaan we verschillende standaardfuncties bekijken.

Mathcentre video

Transposition or Rearrangement of Formulae (38:34)