Functies en grafieken: Kenmerken van functies
Perforaties, limieten en continue dan wel discontinue functies
Bekijk onderstaande grafiek van de functie \(f(x)=\frac{x^2-5x+6}{x-3}\)
De grafiek lijkt een rechte lijn behalve \(x=3\) want dan gaat het gruwelijk mis, namelijk \(f(3)=\frac{3^2-5\times 3+6}{3-3}=\frac{0}{0}\) en dit is niet gedefinieerd. De grafiek vaan \(f(x)\) heeft in \(x=3\) dus een gat, of deftiger gezegd een perforatie. Het is een voorbeeld van een discontinue functie, losjes gezegd een functie waarbij men bij het tekenen van de grafiek met pen en papier op een zeker moment genoodzaakt is om de pen van het papier af te halen.
In de buurt van de perforatie gedraagt de functie zich netjes. Als we \(x\) steeds dichter bij \(3\) kiezen, dan gaat \(f(x)\) steeds meer van \(1\). We zeggen dat \(f(x)\) naar \(1\) gaat als \(x\) naar \(0\) gaat: \[f(x)\rightarrow 1\text{ als }x\rightarrow 3\] of dat de \(f(x)\) de limiet \(1\) heeft als \(x\) naar \(0\) gaat: \[\lim_{x\to 3}f(x)=1\] Dit kunnen we inzien door op te merken dat \[f(x)=\frac{x^2-5x+6}{x-3}=\frac{(x-2)(x-3)}{x-3}=x-2\text{ mits }x\neq 3\] De grafiek van \(g(x)=x-2\) is een recht lijn is met helling \(1\) en verticale asafsnede \(-2\). Bij \(f(x)\) mogen we niet \(x=3\) invullen, maar bij \(g(x)\) is dat geen probleem en krijgen \(g(3)=1\). Met behulp van een limiet kunnen we de verticale waarde van de perforatie bepalen: \[\begin{aligned}\lim_{x\to 3}f(x)&=\lim_{x\to 3}\frac{x^2-5x+6}{x-3}\\[0.25cm] &=\lim_{x\to 3}\frac{(x-2)(x-3)}{x-3}\\[0.25cm] &=\lim_{x\to 3}(x-2)\\[0.25cm] &=3-2\\[0.25cm] &=1\end{aligned}\] We kunnen het gat van \(f\) dichtmaken en er een continue functie van maken, losjes gezegd een functie waarvan de grafiek met pen en papier getekend kan worden zonder de pen van het papier te hoven halen. We construeren dan een stuksgewijs gedefinieerde functie, zeg \(F\), op de volgende manier \[F(x)=\left\{\begin{array}{cl}\dfrac{x^2-5x+6}{x-3} & \text{voor } x\neq 3\\ 1&\text{voor }x=3 \end{array}\right.\] De functie \(F\) heet dan een continue voortzetting van de functie \(f\).
Met het losjes geïntroduceerde limietbegrip kunnen we het begrip perforatie in de grafiek van een functie en continuïteit wat netter definiëren.
Perforatie van een functie De grafiek van een functie \(f\) heeft een perforatie in het punt \((a, b)\) als \(f(a)\) niet bestaat en \(\lim\limits_{x \to a} f(x)=b\).
Continuïteit van een functie De functie \(f(x)\) heet continu in \(a\) als \(a\) in het domein van \(f\) ligt, maar niet op de rand van het definitiegebied van \(f\), en als de limiet \(\lim\limits_{x \to a}f(x)=f(a)\). Een functie heet continu op een open interval \(I\) als \(I\) deel uitmaakt van het domein van \(f\) en als \(f\) continu is in elk punt van \(I\).
Voorbeelden van veelgebruikte discontinue functies
Naam | Definitie | Grafiek |
stapfunctie, Heaviside functie |
\(H(x)=\left\{\begin{array}{rl} 1&\text{ voor }x>0\\ 0 &\text{ voor }x\le 0\end{array}\right.\) | |
tekenfunctie | \(\mathrm{teken}(x)=\left\{\begin{array}{rl} 1&\text{ voor }x>0\\ 0 &\text{ voor }x=0\\ -1 &\text{ voor }x< 0\end{array}\right.\) | |
Dirac delta functie | \(\delta(x)=\left\{\begin{array}{rl} 1&\text{ voor }x=0\\ 0 &\text{ voor }x\neq 0\end{array}\right.\) |