Domein en bereik van een functie en intervalnotatie

Functies en grafieken: Functiemachientjes en samenstelling van functies

Domein en bereik van een functie en intervalnotatie

Het domein $D_f$ van een functie $f$ is de verzameling van alle invoer die een functie kan accepteren. De verzameling van alle uitvoer van een functie $f$ heet het bereik $B_f$. Om het domein of bereik te specificeren gebruik je een verzamelingsnotatie waarbij je via voorwaarden specificeert waar getallen aan moeten voldoen. Vaak kom je dan uit bij intervallen.

Voorbeelden

Als $f(x)=\sqrt{x}$ , dan $D_f=B_f=\{x\in\mathbb{R}\mid x\ge 0\}=[0,\infty)$

Als $g(x)=\dfrac{1}{x^2+1}$, dan $D_g=\mathbb{R}$ en $B_g=\{x\in\mathbb{R}\mid 0<x\le 1\}=(0,1]$

Als $h(x)=\dfrac{x}{x+1}$, dan $D_h=\{x\in\mathbb{R}\mid x\neq -1\}$ en $B_h=\{x\in\mathbb{R}\mid x\neq 1\}$

Wat mag niet? Twee verboden bewerkingen in functiedefinities zijn "delen door nul" en "de wortel van een negatief getal nemen". Daarnaast kan de context een beperking op een domein opleggen: als je bijvoorbeeld temperatuur in kelvin als grootheid beschouwt, dan hebben negatieve temperaturen geen fysische betekenis.

Interval Een interval is een aaneengesloten verzameling reële getallen, een stukje van een getallenlijn. Hieronder staan intervallen met de gebruikelijke notatie en het bijbehorende deel van de getallenlijn.

Intervalnotatie	Notatie met ongelijkheidstekens	Stukje van de getallenlijn
\[\ivoo{a}{b}\]	\[a<x<b\]
\[\ivco{a}{b}\]	\[a\le x<b\]
\[\ivoc{a}{b}\]	\[a< x\le b\]
\[\ivcc{a}{b}\]	\[a\le x\le b\]
\[\ivoo{a}{\infty}\]	\[x> a\]
\[\ivco{a}{\infty}\]	\[x\ge a\]
\[\ivoo{-\infty}{b}\]	\[x< b\]
\[\ivoc{-\infty}{b}\]	\[x\le b\]
\[\ivoo{-\infty}{\infty}\]	(alle reële getallen)

Bij de intervalnotatie schrijf je dus de grenswaarden (de kleinste en de grootste waarden, de kleinste eerst) van het interval op tussen twee haakjes. Hierbij bepaalt de vorm van de haakjes of de grenswaarde nog wel bij het interval hoort of juist niet: een rechte haak geeft aan dat de grenswaarde wel bij het interval hoort, een rond haak geeft aan dat de grenswaarde niet bij het interval hoort. Voor intervallen die aan één kant geen grenswaarde hebben gebruik je het oneindig-symbool en een ronde haak. $〈$

De intervalnotatie voor alle reële getallen in de laatste rij van bovenstaande tabel wordt minder vaak gebruikt dan de notatie $\mathbb{R}$.

Combinaties van intervallen Intervallen kunnen ook gecombineerd worden. Bijvoorbeeld alle getallen met absolute waarde groter dan $1$ kun je ook noteren als $\ivoo{-\infty}{-1}\cup \ivoo{1}{\infty}$.

Andere intervalnotaties In plaats van ronde haken wordt in intervalnotatie ook de symbolen $\langle$ en $\rangle$ gebruikt, zodat er geen misvestand kan ontstaan met coördinaten van punten in het platte vlak. Dan noteer je bijvoorbeeld $a \le x<b$ als $[a,b\rangle$. In deze notatie wordt $x>a$ ook wel genoteerd als $\langle a,\rightarrow\rangle$, zodat je het symbool voor oneindig niet nodig hebt..

Zet de intervalnotatie $(13,\infty)$ om in de schrijfwijze $\{x\in\mathbb{R}\mid\ldots \}$ met op de stippeltjes een notatie met ongelijkheden.

$(13,\infty)$ bestaat uit alle getallen $x$ waarvoor geldt dat $x>13$.

Dus: $(13,\infty)=\{x\in\mathbb{R}\mid x>13\}$.

Nieuw voorbeeld