Functies en grafieken: Transformaties van grafieken en functies
Spiegelen in de lijn y = x
Er is nog één bijzondere transformatie van de grafiek van een functie, namelijk spiegelen in de schuine lijn met vergelijking \(y=x\). Deze transformatie verwisselt de coördinaten van een punt. Deze lijnspiegeling past bij de creatie van de grafiek van een inverse functie \(f^{-1}\) gegeven de inverteerbare functie \(f\).
Grafiek van een inverse functie Beschouw een bijectieve functie \(f(x)\), d.w.z. een functie die aan het horizontale-lijn criterium voldoet en waarvoor dus een inverse functie \(f^{-1}(x)\) bestaat. De grafiek van \(f^{-1}\) ontstaat uit de grafiek van \(f\) door spiegeling in de lijn met vergelijking \(y=x\).
Met andere woorden, de grafieken van een functie en zijn inverse zijn elkaars gespiegelde in de lijn \(y=x\).
Opstellen van een functievoorschrift voor een inverse functie Het opstellen van een functievoorschrift voor de inverse functie van een bijectieve functie \(f\) bestaat uit twee stappen:
- Vervang simultaan \(x\) door \(y\) en vervang \(y\) door \(x\) in de vergelijking \(y=f(x)\). Je verwisselt dus \(x\) en \(y\) met elkaar en krijgt de vergelijking \(x=f(y)\).
- Isoleer \(y\) in de vergelijking \(x=f(y)\). Het rechterlid wordt dan het functievoorschrift van \(f^{-1}(x)\).
Dit kan alleen voor een functie die aan het horizontale-lijn criterium voldoet, d.w.z. voor een functie \(f\) waarvoor elke horizontale lijn hoogstens één snijpunt met de grafiek van \(f\) heeft.