Functies en grafieken: Families van functies
Functies met een parameter erin
Door de oorsprong kun je verschillende rechte lijnen tekenen. Hiernaast kun je dergelijke lijnen met verschillende hellingen tonen door de schuifbalk te verschuiven. Deze schuifbalk controleert de waarde van de helling die met het symbool \(a\) is aangeduid. Dit geeft de grafiek van een lijn met de vergelijking \(y=a\cdot x\), die van een parameter \(a\) afhangt.
In termen van functies is er sprake van de grafiek van de geparametriseerde functie \(f_a(x)=a\cdot x\). In de naamgeving van de functie is de parameter \(a\) opgenomen. Door variatie van de parameter krijg je steeds een andere functie waarvan de grafiek een rechte lijn door de oorsprong is met helling \(a\).
Het gaat hier dus eigenlijk om een families van functies, ook al spreekt met vaak van een geparametriseerde functie alsof het er één is.
Vaak worden wiskundige problemen in een geparametriseerde vorm geformueerd en zoek je naar condities waar de paramter aan moet voldoen. We geven hieronder een concreet voorbeeld.
De grafieken van de kwadratische functie \(g(x)=x^2\) en de geparametriseerde functie \(f_p(x)=2x+p \) zijn een parabool en een lijn met helling \(2\) die de verticale as snijdt in het punt \((0,p)\).
Voor sommige parameterwaarden zijn er twee gemeenschappelijk punten op de grafieken.
Voor andere parameterwaarden zijn er geen gemeenschappelijke punten en voor precies één parameterwaarde is er één gemeenschappelijk punt.
Dit volgt uit onderstaande uitwerking van de bepaling van gemeenschappelijk punten. \[\begin{aligned}g(x)&=f_p(x)\\[0.25cm] x^2&=2x+p\\[0.25cm] x^2-2x&=p\\[0.25cm] x^2-2x+1&=p+1\\[0.25cm] (x-1)^2&=p+1\\[0.25cm] x-1&=\pm\sqrt{p+1}\\[0.25cm] x&=1\pm\sqrt{p+1}\end{aligned}\] Als onder het wortelteken bij een parameterwaarde een negatief getal ontstaat zijn er geen gemeenschappelijke punten. Als \(p=-1\), dan is er één oplossing, namelijk \(x=-1\).
