Basisfuncties: Machtsfuncties
Definitie van een machtsfunctie
Een machtsfunctie heeft de vorm \[f(x)=c\cdot x^p,\] waarin \(c\) en \(p\) parameters ongelijk aan nul zijn. Als de exponent \(p\) in de term \(x^p\) een natuurlijk getal ongelijk nul is, dan heet het ook de graad van de machtsfunctie en spreken we van een \(p\)-degraads machtsfunctie (we gebruiken dan vaak de letter \(n\) i.p.v. \(p\)).
Het domein van een machtsfunctie hangt af van de waarde \(p\):
Als \(p\) een natuurlijk getal is, dan bestaat het domein uit alle reële getallen.
Als \(p=\tfrac{1}{n}\) met een natuurlijk getal \(n\), dan bestaat het domein uit alle reële getallen voor oneven \(n\) en is het domein gelijk aan \(\ivco{0}{\infty}\) voor even \(n\). In dit geval spreken we ook wel van een wortelfunctie.
Bij negatieve waarden van \(p\) is altijd het getal \(0\) uitgesloten in het domein.
Ook het bereik en de karakteristieken van een machtsfunctie hangt sterk af van de exponent.
Als twee variabelen \(x\) en \(y\) met elkaar verbonden zijn via \(y=c\cdot x^p\) dan spreken we van een machtsverband tussen \(y\) en \(x\). Als \(c>0\), dan is dit verband wederkerig, d.w.z. als er een machtsverband is tussen \(x\) en \(y\), dan is er ook een machtsverband tussen \(y\) en \(x\). Immers, in dit geval is \(x=c^{-\frac{1}{p}}\cdot y^{\frac{1}{p}}\).
Oppervlakte en volume van een bol De oppervlakte \(A(r)\) en het volume \(V(r)\) van een bol als functie van de straal \(r\) zijn 2-de en 3-degraads machtsfuncties: \(\;\displaystyle A(r)=4\pi\,r^2,\;\; V(r)=\frac{4}{3}\pi\,r^3\).
Wet van Coulomb De elektrische kracht \(F_\mathrm{el} (r)\) die twee puntladingen \(Q\) en \(q\) op afstand \(r\) uitoefenen op elkaar is volgende de Wet van Coulomb een machtsfunctie met exponent \(-2\), dat wi zeggen gegeven door de formule \(\;\displaystyle F_\mathrm{el} (r)=f\cdot \frac{Q\cdot q}{r^2}\), voor zekere constante \(f\).
Grafiek van een machtsfunctie met een natuurlijk getal groter dan 1 als exponent De vorm van de grafiek van de functie \(f(x)=c\cdot x^n\) met een natuurlijk getal \(n\) als exponent hangt af van het even of oneven zijn van \(n\). Zie onderstaande interactieve figuren. Ze laten zien dat de karakteristieken van de machtsfunctie hierdoor ook verschillen.
even exponent
De machtsfunctie \(f(x)=x^{n}\) met een even natuurlijk getal \(n\) (hier ongelijk aan nul) is een
even functie met bereik \(\ivco{0}{\infty}\).
oneven exponent
De machtsfunctie \(f(x)=x^{n}\) met een oneven natuurlijk getal \(n\) (hier ongelijk aan één) is een oneven functie met bereik \(\ivoo{-\infty}{\infty}\).
Rekenregels voor machtsfuncties Laat \(a\) en \(b\) reële getallen zijn en \(x\) en \(y\) positieve reële getallen zijn, dan gelden de volgende gelijkheden:
- \(\left(x^a\right)^b = x^{a\cdot b}\)
- \(\left(x\cdot y\right)^a = x^a\cdot y^a\)
- \(x^a\cdot x^b = x^{a+b}\)
- \(\frac{x^a}{x^b}=x^{a-b}\)
Matchcentre video
Indices or Powers (32:26)
