Basisfuncties: Machtsfuncties
Context 1: de wet van Kleiber en allometrie tussen gewicht van brein en lichaam
Machtsfuncties kom je vooral tegen in biologische of medische studies waarin groottes van lichaamsdelen tijdens groei gemeten worden en onderlinge verbanden of relaties met andere grootheden empirisch vastgesteld worden. De Engelse benaming voor dit gebied is allometry en hoewel niet opgenomen in het Van Dale's groot woordenboek van de Nederlandse taal zullen we de term allometrie gebruiken.
Een bekend voorbeeld is de wet van Kleiber die het verband tussen lichaamsgewicht en energiebehoefte van zoogdieren in rust beschrijft: de energiebehoefte is evenredig met \(m^\frac{3}{4}\), waarin \(m\) het lichaamsgewicht van het dier is. Of één formule voor alle zoogdieren werkt wordt overigens betwijfeld, maar wanneer men zich beperkt tot bijvoorbeeld de klasse van buideldieren, dan is deze wet toepasbaar. Dit beschrijft dat grotere dieren naar verhouding minder energie verbruiken dan kleinere dieren: de energiebehoefte per kg gewicht is evenredig met \(\displaystyle \frac{m^\frac{3}{4}}{m}=m^{-\frac{1}{4}}\). Ook dit is een machtsfunctie en wel eentje die een dalende functie van gewicht \(m\) is.
Gerelateerd aan bovenstaand voorbeeld is het verband tussen lichaamsgewicht en het gewicht van de hersenen voor zoogdieren. Voor primaten wordt het volgende allometrische verband gebruikt (Martin, R.D. (1983) Human Brain Evolution in an Ecological Context. New York: American Museum of Natural History) \[B=0.11482\,G^{0.75}\] waarbij het lichaamsgewicht (\(G\)) en gewicht van de hersenen (\(B\)) in grammen zijn. Voor niet-primaten is een vergelijkbare formule, maar met een andere factor gevonden: \[B=0.05495\,G^{0.74}\]
Stel dat er een machtsverband
\[y=c\cdot x^p\]
tussen grootheden \(y\) en \(x\) bestaat, dan wordt de coëfficiënt \(p\) de allometrische coëfficiënt genoemd en zegt men wel dat \(y\) schaalt met de \(p\)-de macht van \(x\) . Een veelgebruikte notatie om een dergelijke schaling aan te geven is \(y\propto x^p\).
Als \(p=1\) dan zeggen we dat \(y\) recht evenredig (proportioneel) is met \(x\).
Als \(p=-1\) dan zeggen we dat \(y\) omgekeerd evenredig met \(x\).
