Een lineair verband op basis van twee meetpunten

Basisfuncties: Lineaire functies

Een lineair verband op basis van twee meetpunten

Je hebt al gezien hoe het functievoorschrift van een lineaire functie uitgerekend kan worden als je de richtingscoëfficiënt en een punt op de grafiek al bekend zijn. In praktijk kom je het volgende probleem veel meer tegen:

Gegeven twee meetpunten $(t_0,y_0)$ en $(t_1,y_1)$ met $t_0\neq t_1$ , wat is dan het functievoorschrift $y(t)=a\,t+b$ waarbij de grafiek door deze twee meetpunten gaat?

De algemene oplossingsmethode is als volgt:

De grafiek van de lineaire functie $y(t)=a\,t+b$ is een rechte lijn.
De richtingscoëfficiënt $a$ is te berekenen als quotiënt van toenames:

$a=\frac{{\vartriangle}y}{{\vartriangle}t}=\frac{y_1-y_0}{t_1-t_0}$ De asafsnede $b$ kan hierna berekend worden op basis van de coördinaten van een van beide meetpunten, bijvoorbeeld:

$b=y_0-a\cdot t_0$

Een concreet dynamisch voorbeeld moge de methode verduidelijken.

Gegeven twee meetpunten $(1,-4)$ en $(4,-3)$ , wat is dan het functievoorschrift $y(t)=a\,t+b$ waarbij de grafiek door deze twee meetpunten gaat?

De grafiek van de lineaire functie $y(t)=a\,t+b$ is een rechte lijn.
De richtingscoëfficiënt $a$ is te berekenen als quotiënt van toenames:

$a=\frac{{\vartriangle}y}{{\vartriangle}t}=\frac{-3+4}{4-1}={{1}\over{3}}\tiny.$ De verticale asafsnede $b$ kan hierna berekend worden op basis van de coördinaten van een van beide meetpunten, bijvoorbeeld op basis van het punt $(1,-4)$ :

$-4={{1}\over{3}}\times 1 +b\qquad\text{oftewel}\qquad b=-4-{{1}\over{3}}\times 1=-{{13}\over{3}}\tiny.$ Het functievoorschrift is

$y(t)={{1}\over{3}}t-{{13}\over{3}}\tiny.$ De verticale asafsnede is $f(0)=b=-{{13}\over{3}}$ .
De grafiek van deze functie is samen met de twee gegeven punten in onderstaande figuur getekend.

Nieuw voorbeeld