De abc-formule

Basisfuncties: Veeltermfuncties

De abc-formule

Stel $a$ , $b$ en $c$ zijn reële getallen met $a\neq 0$ .

De discriminant van de kwadratische vergelijking $ax^2+bx+c = 0$ is gedefinieerd als het getal $b^2-4\cdot a \cdot c$ .

De reden dat we de discriminant (in het vervolg met de letter $D$ aangeduid) invoeren is dat we nu eenvoudig kunnen formuleren hoeveel reële oplossingen de kwadratische vergelijking heeft en, indien oplossingen bestaan, welke dat dan precies zijn.

De formule hieronder, die de oplossingen en hun aantal direct geeft, heet de abc-formule.

De kwadratische vergelijking $ax^2+bx+c = 0$ met onbekende $x$ en discriminant $D=b^2-4ac$ heeft:

twee reële oplossingen als $D\gt 0$ , namelijk $x=\dfrac{-b - \sqrt{D}}{2a}$ en $x=\dfrac{-b+ \sqrt{D}}{2a}$ .
precies één reële oplossing als $D=0$ , namelijk $x=-\dfrac{b}{2a}$ .
geen reële oplossingen als $D\lt 0$ .

Bewijs van de abc-formule (voor de liefhebber)

Door kwadraatafsplitsen kunnen we de vergelijking $ax^2+bx+c=0$ herschrijven tot

$a\left(x+\frac{b}{2a}\right)^2 -\frac{b^2-4ac}{4a}=0$ Brengen we de constante term naar het rechterlid en delen we door $a$ , dan vinden we met enig herschrijven

$\left(x+\dfrac{b}{2a}\right)^2=\dfrac{b^2-4ac}{(2a)^2}$ Als $b^2-4ac\gt 0$ , dan kunnen we links en rechts worteltrekken; deze twee wortels zijn op een teken na aan elkaar gelijk:

$x+\frac{b}{2a}=\pm\frac{\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$ Er zijn dus twee reële oplossingen, namelijk

$x=\frac{-b - \sqrt{b^2-4ac}}{2a}\quad\mathrm{en}\quad x=\dfrac{-b+ \sqrt{b^2-4ac}}{2a}$

Als $b^2-4ac= 0$ , dan is het rechterlid, dus ook het linkerlid, gelijk aan $0$ , waaruit volgt dat

$x=\dfrac{b}{2a}$ de enige reële oplossing is.

Als $b^2-4ac\lt 0$ , dan is het rechterlid negatief, maar het linkerlid niet, dus zijn er geen reële oplossingen.

De twee oplossingen in het eerste geval worden vaak samen genomen door gebruik te maken van de $\pm$ notatie; dus

$x=\dfrac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}$

Bereken met de abc-formule exact de reële oplossingen van de kwadratische vergelijking

$x^2+3\, x+1=0$

Het aantal oplossingen van de kwadratische vergelijking

$ax^2+bx+c=0$ hangt af van de discriminant $D=b^2-4ac$ . Immers, de abc-formule geeft als oplossing

$x=\dfrac{-b\pm\sqrt{D}}{2a}$ met

$D=b^2-4ac\tiny.$ In deze opgave met de vergelijking

$x^2+3\, x+1=0$ geldt:

$a=1,\quad b=3,\quad c=1,\quad D=3^2 -4\times 1\times 1= 5\tiny.$ Omdat $D\gt 0$ is het aantal oplossingen van de vergelijking $x^2+3\, x+1=0$ gelijk aan $2$ .
Het antwoord is volgens de abc-formule (na eventuele vereenvoudiging):

$x=-{{3}\over{2}}-\frac{1}{2}\sqrt{5}\quad\vee\quad x=-{{3}\over{2}}+\frac{1}{2}\sqrt{5}\tiny.$

Nieuw voorbeeld