Basisfuncties: Veeltermfuncties
Een kwadratisch verband op basis van drie meetpunten
In praktijk kom je het volgende probleem tegen:
Gegeven drie meetpunten \((t_0,y_0)\), \((t_1,y_1)\) en \((t_2,y_2)\) met \(t_0, t_1, t_2\) onderling verschillend, wat is dan het functievoorschrift \(y(t)=a\,t^2+b\,t+c\) waarbij de grafiek door deze drie meetpunten gaat?
Je kunt natuurlijk coördinaten van de meetpunten gebruiken om het volgende stelsel van drie vergelijkingen in drie onbekenden (\(a,b,c\)) op te stellen en vervolgens op te lossen: \[\begin{aligned} a t_0^2+b t_0+c &=y_0 \\ a t_1^2+b t_1+c &=y_1 \\ a t_2^2+b t_2+c &=y_2\end{aligned}\] Maar dit kan ook in stappen gedaan worden volgens de interpolatiemethode van Lagrange.
Interpolatie methode van Lagrange Eerst zoeken we kwadratische functies \(f_0, f_1, f_2\) met de eigenschappen \[f_i(t)=\begin{cases} y_i & \text{als \(t=t_i\)} \\ 0 & \text{anders}\end{cases}\] met \(i=0,1,2\). Dit is niet zo moeilijk; definieer \[\begin{aligned} f_0(t) &=y_0\cdot \frac{(t-t_1)(t-t_2)}{(t_0-t_1)(t_0-t_2)} \\ \\ f_1(t) &=y_1\cdot \frac{(t-t_0)(t-t_2)}{(t_1-t_0)(t_1-t_2)} \\ \\ f_2(t) &=y_2\cdot\frac{(t-t_0)(t-t_1)}{(t_2-t_0)(t_2-t_1)}\end{aligned}\] Een equivalente, maar compactere formulering van deze definitie is: \[f_i(t)=y_i\cdot\prod_{\begin{aligned}j&=0\\ j&\neq i\end{aligned}}^2\frac{t-t_j}{t_i-t_j},\quad i=0,1,2.\] Vervolgens kun je nu het functievoorschrift van de gevraagde functie maken door \[y(t)=f_0(t)+f_1(t)+f_2(t)\] Deze veeltermfunctie van graad 2 of 1 (als de meetpunten op een rechte lijn liggen) gaat precies door de drie meetpunten en kan herschreven worden in de gewenste vorm door haakjes weg te werken.
We geven een uitgewerkt voorbeeld en een visualisatie.
De kwadratische functie die in \(t=-1\) de waarde \(-10\) aanneemt en in \(t=1\) en \(t=5\) de waarde \(0\) heeft is \(\displaystyle -10\dfrac{(t-1)(t-5)}{(-1-1)(-1-5)}=-{{5}\over{6}} (t-1)(t-5)\).
De kwadratische functie die in \(t=1\) de waarde \(6\) aanneemt en in \(t=-1\) en \(t= 5\) de waarde \(0\) heeft, is \(\displaystyle 6\dfrac{(t+1)(t-5)}{(1+1)(1-5)}=-{{3}\over{4}} (t+1)(t-5)\).
De kwadratische functie die in \(t=5\) de waarde \(-10\) aanneemt en in \(t=-1\) en \(t= 1\) de waarde \(0\) heeft, is \(\displaystyle -10\dfrac{(t+1)(t-1)}{(5+1)(5-1)}=-{{5}\over{12}} (t+1)(t-1)\).
De som van deze drie kwadratische functies is de gevraagde functiedefinitie:\[-{{5}\over{6}} (t-1)(t-5)-{{3}\over{4}} (t+1)(t-5)-{{5}\over{12}} (t+1)(t-1)= \\ 8 t-2 t^2\tiny.\]
In het onderstaande diagram kun je drie punten creëren door hun posities in het coördinatenvlak aan te klikken. De grafiek van de eerste- of tweedegraadsfunctie die door deze punten gaat wordt dan getekend, mits de horizontale coördinaten van de opgegeven punten onderling verschillend zijn. Je kunt punten verplaatsen om te zien wat het effect is op de parabool.
