De algemene vorm van een veeltermfunctie is: \[f(x)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1} + \cdots + a_2x^2+a_1x+a_0,\] met \(a_n\neq 0\). De uitdrukking \[a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1} + \cdots + a_2x^2+a_1x+a_0,\] met \(a_n\neq 0\) heet een veelterm of polynoom. De parameters \(a_0, a_1, \ldots, a_n\) noemen we de coëfficiënten van de veelterm. De hoogste exponent \(n\) heet de graad van de veelterm. De term \(a_nx^n\) heet de kopterm van de veelterm en \(a_n\) is de kopcoëfficiënt of leidende coëfficiënt.
Voorbeelden
\[\begin{aligned}f(x)&=4x^3-3x^2+1\\[0.25cm]
g(x)&=\tfrac{1}{2}x^4-1\\[0.25cm]
h(x)&= x^5-5x^3-x^2+4x+1\end{aligned}\]
De graad van \(f(x)=4x^3-3x^2+1\) is gelijk aan 3; de kopterm is \(4x^3\) en de kopcoëfficiënt is \(4\).
De graad van \(g(x)=\tfrac{1}{2}x^4-1\) is gelijk aan 4; de kopterm is \(\tfrac{1}{2}x^4\) en de kopcoëfficiënt is \(\tfrac{1}{2}\).
De graad van \(h(x)= x^5-5x^3-x^2+4x+1\) is gelijk aan 5; de kopterm is \(x^5\) en de kopcoëfficiënt is \(1\).
De veelterm \[a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1} + \cdots + a_2x^2+a_1x+a_0\] kan met het sommatieteken kort opgeschreven worden als \[\sum_{k=0}^{n}a_kx^k\]
Lineaire en kwadratische functies zijn veeltermfuncties van graad 1 en 2. Vandaar dat ze ook eerstegraadsfuncties respectievelijk tweedegraadsfuncties worden genoemd.
Machtfuncties zijn veeltermfunctie met maar 1 term.
Bij kwadratische functies hebben we gezien dat deze ook wel eens in ontbonden vorm geschreven staan\(f(x)=x^2-3x+2=(x-1)(x-2)\). Ook bij veeltermfuncties van hoge graad treedt dit op. Door haakjes weg te werken kun je dan de standaardvorm bepalen.
Schrijf de veeltermfunctie \[f(x)=x^2(2x+2)(3x+4)\] is standaardvorm om de graad, kopterm en kopcoëfficiënt te bepalen
\[\begin{aligned}f(x) &= x^2(2x+2)(3x+4) & \phantom{abcxyz}\blue{\text{de gegeven veeltermfunctie}}\\ \\ &= x^{2}(6 x^2-14 x+8) & \phantom{abcxyz}\blue{\text{haakjes weggewerkt, }x^{2}\text{ onaangeroerd}}\\ \\ &=6x^4-14 x^3+8 x^2 & \phantom{abcxyz}\blue{\text{haakjes weggewerkt}}\end{aligned}\] We lezen nu af:
\(\phantom{xxxxx}\,\,\)graad van de veelterm \(x^2(2x+2)(3x+4) =4\).
\(\phantom{xxxx}\)kopterm van de veelterm \(x^2(2x+2)(3x+4) =6 x^4\).
kopcoëfficiënt van de veelterm \(x^2(2x+2)(3x+4) =6\).
De grafiek van de functie \[f(x) = x^5-5x^3-x^2+4x+1\] is hieronder is getekend voor een interval waarin alle toppen en nulpunten zichtbaar zijn
Je ziet duidelijk dat de grafiek 4 toppen en 5 nulpunten heeft. In het algemeen geldt dat de grafiek van een \(n\)-degraadsveeltermfunctie \(n-1\) toppen en \(n\) nulpunten heeft (in ieder geval als je met multipliciteiten telt, anders kunnen het er minder zijn).
Veeltermfuncties van graad drie en hoger
