Veeltermfuncties van graad drie en hoger

Basisfuncties: Veeltermfuncties

Veeltermfuncties van graad drie en hoger

Veeltermen

De algemene vorm van een veeltermfunctie is:

$f(x)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1} + \cdots + a_2x^2+a_1x+a_0,$ met $a_n\neq 0$ . De uitdrukking

$a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1} + \cdots + a_2x^2+a_1x+a_0,$ met $a_n\neq 0$ heet een veelterm of polynoom. De parameters $a_0, a_1, \ldots, a_n$ noemen we de coëfficiënten van de veelterm. De hoogste exponent $n$ heet de graad van de veelterm. De term $a_nx^n$ heet de kopterm van de veelterm en $a_n$ is de kopcoëfficiënt of leidende coëfficiënt.

Voorbeelden

$\begin{aligned}f(x)&=4x^3-3x^2+1\\[0.25cm] g(x)&=\tfrac{1}{2}x^4-1\\[0.25cm] h(x)&= x^5-5x^3-x^2+4x+1\end{aligned}$

De graad van $f(x)=4x^3-3x^2+1$ is gelijk aan 3; de kopterm is $4x^3$ en de kopcoëfficiënt is $4$ .

De graad van $g(x)=\tfrac{1}{2}x^4-1$ is gelijk aan 4; de kopterm is $\tfrac{1}{2}x^4$ en de kopcoëfficiënt is $\tfrac{1}{2}$ .

De graad van $h(x)= x^5-5x^3-x^2+4x+1$ is gelijk aan 5; de kopterm is $x^5$ en de kopcoëfficiënt is $1$ .

Notatie met sommatieteken De veelterm

$a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1} + \cdots + a_2x^2+a_1x+a_0$ kan met het sommatieteken kort opgeschreven worden als

$\sum_{k=0}^{n}a_kx^k$

Machtsfunctie, lineaire en kwadratische functies Lineaire en kwadratische functies zijn veeltermfuncties van graad 1 en 2. Vandaar dat ze ook eerstegraadsfuncties respectievelijk tweedegraadsfuncties worden genoemd.
Machtfuncties zijn veeltermfunctie met maar 1 term.

Bij kwadratische functies hebben we gezien dat deze ook wel eens in ontbonden vorm geschreven staan $f(x)=x^2-3x+2=(x-1)(x-2)$ . Ook bij veeltermfuncties van hoge graad treedt dit op. Door haakjes weg te werken kun je dan de standaardvorm bepalen.

Schrijf de veeltermfunctie

$f(x)=x^5(2x+2)(2x+5)$ is standaardvorm om de graad, kopterm en kopcoëfficiënt te bepalen

$\begin{aligned}f(x) &= x^5(2x+2)(2x+5) & \phantom{abcxyz}\blue{\text{de gegeven veeltermfunctie}}\\ \\ &= x^{5}(4 x^2-14 x+10) & \phantom{abcxyz}\blue{\text{haakjes weggewerkt, }x^{5}\text{ onaangeroerd}}\\ \\ &=4x^7-14 x^6+10 x^5 & \phantom{abcxyz}\blue{\text{haakjes weggewerkt}}\end{aligned}$ We lezen nu af:

$\phantom{xxxxx}\,\,$ graad van de veelterm $x^5(2x+2)(2x+5) =7$ .

$\phantom{xxxx}$ kopterm van de veelterm $x^5(2x+2)(2x+5) =4 x^7$ .

kopcoëfficiënt van de veelterm $x^5(2x+2)(2x+5) =4$ .

Nieuw voorbeeld

Grafiek De grafiek van de functie

$f(x) = x^5-5x^3-x^2+4x+1$ is hieronder is getekend voor een interval waarin alle toppen en nulpunten zichtbaar zijn

GeoGebra

Je ziet duidelijk dat de grafiek 4 toppen en 5 nulpunten heeft. In het algemeen geldt dat de grafiek van een $n$ -degraadsveeltermfunctie $n-1$ toppen en $n$ nulpunten heeft (in ieder geval als je met multipliciteiten telt, anders kunnen het er minder zijn).