Toepassingen van veeltermfuncties van graad drie

Basisfuncties: Veeltermfuncties

Toepassingen van veeltermfuncties van graad drie

Nu denk je wellicht dat je veeltermen van graad drie en hoger in praktijk niet tegen gaat komen. Maar dit is een misvatting; drie voorbeelden illustreren dit.

Een eenvoudig wiskundig model van verschijnselen van epilepsie beschrijft de dynamica van een neuraal netwerk met \[P(t+1)=4C\cdot P(t)^3-6C\cdot P(t)^2+(1+2C)\cdot P(t),\] waarbij \(C\) een positieve constante is en \(P(t)\) de fractie van neuronen in het netwerk is dat op tijdstip \(t\) een impuls zendt (of afvuurt).

De mazeleninfectie in het menselijk lichaam kan met een derdegraadsfunctie gemodelleerd worden. Onderzoek wijst uit dat het maximum aantal geïnfecteerde cellen omstreeks twee weken na infectie bereikt wordt, wanneer ook de symptomen van de ziekte zichtbaar worden, en dat de infectie pakweg drie weken aanhoudt. Ga zelf na dat de volgende derdegraadsfunctie, waarmee het aantal geïnfecteerde cellen per microliter plasma op dag \(t\) na infectie berekend kan worden, \[f(t)=t\cdot(21-t)\cdot (t+1)\] de genoemde eigenschappen heeft. Je kunt hiervoor onderstaande grafiek van \(f\) gebruiken.

grafiek van een derdegraadsfunctie van een mazeleninfectie

Het derde voorbeeld komt uit chemisch rekenen: de oplosbaarheid van een elektrolyt in water onder aanwezigheid van andere stoffen.

Bereken de oplosbaarheid van \(\mathrm{CaF}_2\) in een \(1.6\,\mathrm{M}\) oplossing van \(\mathrm{KF}\).
Voor het oplosbaarheidsproduct kun je \(K_s=1.5\times 10^{-11}\) nemen.
Rond af op 2 significante cijfers en gebruik de wetenschappelijk E-notatie omdat de uitkomst vaak erg klein is (gebruik dus 3.4E-12 i.p.v. \(3.4\times 10^{-12}\)).

Gebruik onderstaande rekenmachine voor berekeningen.

Voor de heterogene evenwichtstoestand van vast \(\mathrm{CaF}_2\) - verzadigde waterige oplossing met \(1.6\,\mathrm{M}\) \(\mathrm{KF}\) \[\mathrm{CaF}_2\rightleftharpoons \mathrm{Ca}^{2+}+2\mathrm{F}^{-}\] geldt: \[K_s= \bigl[\mathrm{Ca}^{2+}]\cdot\bigl[\mathrm{F}^{-}\bigr]^2\] Stel nu dat \(x\) mol van de elektrolyt \(\mathrm{CaF}_2\) oplost in 1 liter van de waterige oplossing. Dan volgt uit de stoichiometrie van het evenwicht en uit de aanwezigheid van volledig oplosbaar \(\mathrm{KF}\) \[\bigl[\mathrm{Ca}^{2+}\bigr]=x,\quad \bigl[\mathrm{F}^{-}\bigr]=2x+1.6\] en dus \[K_s=x\cdot(2x+1.6)^2\] Daar verschijnt een derdegraads veelterm!
Omdat het oplosbaarheidsproduct bekend is \(\bigl(K_s=1.5\times 10^{-11}\bigr)\), kun je \(x\) numeriek oplossen.
De oplossing van de vergelijking kan ook benaderd worden door de volgende verwaarlozing:
omdat \(x\) klein is mogen we i.p.v. \(2x+1.6\) ook wel \(1.6\) gebruiken. Hieruit volgt: \[K_s=2.56 x\] Wat we bereikt hebben is dat de op te lossen vergelijking in \(x\) nu eenvoudig is.
Er geldt: \(x={}\) 5.9E-12

De oplosbaarheid van \(\mathrm{CaF}_2\) in een \(1.6\,\mathrm{M}\) oplossing van \(\mathrm{KF}\) is dus 5.9E-12 mol/L.

Nieuw voorbeeld