Laten we eens naar een eenvoudige variant kijken:

De grafiek van $f(x) = \frac{10}{x-3}+2$ lijkt op die van $\displaystyle\frac{1}{x}$: de grafiek wordt verkregen door horizontale translatie naar rechts over een afstand $3$, gevolgd door een verticale vermenigvuldiging met $10$ en een verticale translatie met $2$. Het belangrijkste verschil is dat de verticale respectievelijk horizontale asymptoot gegeven zijn door de vergelijkingen $x=3$ en $y=2$. Dit betekent dat $f(x)\to 2$ als $x\to \infty$ en $f(x)\to 2$ als $x\to -\infty$.
Ook is de functie in $x=3$ niet gedefinieerd, maar weten we wel dat de functiewaarde $f(x)$ zeer groot wordt als $x$ in de buurt van $x=3$ komt. Meer precies, $f(x)\to\infty$ als $x\downarrow 3$ en $f(x)\to-\infty$ als $x\uparrow 3$, waarbij de pijlen $\downarrow$ en $\uparrow$ betekenen dat je een domeinwaarde nadert vanuit de rechter- respectievelijk linkerkant.

Onder de veronderstelling dat er geen gemeenschappelijke factoren in de twee veeltermen $a(x)$ en $b(x)$ voorkomen worden de verticale asymptoten van de rationale functie $\frac{a(x)}{b(x)}$ beschreven door de vergelijkingen $x=\alpha$ met $b(\alpha)=0$. Met andere woorden, de verticale asymptoten van een rationale functie horen bij de nulpunten van de veelterm in de noemer van het functievoorschrift.

Het gedrag voor grote waarden van de onafhankelijke variabele hangt af van de graden van de veeltermen in teller en noemer want $\displaystyle f(x)\approx \frac{a_nx^n}{b_mx^m}=\frac{a_n}{b_n}x^{n-m}$ als $x\to\pm \infty$.
Hieruit volgt bijvoorbeeld dat zodra $m>n$, dan $f(x)\to 0$ als $x\to\pm\infty$.

Voorbeeld