Toepassingen

Basisfuncties: Rationale functies

Toepassingen

Rationale functies kom je in wiskundige modellen van biologische veranderingsprocessen veel tegen. Maar er zijn ook eenvoudige toepassingen; we geven drie voorbeelden.

De lenzenformule voor een lens met een brandpuntsafstand $f$ is

$\frac{1}{b}+\frac{1}{v}=\frac{1}{f},$ waarin $v$ de voorwerpsafstand is en $b$ de beeldafstand. Gegeven een voorwerpsafstand $v$ en de brandpuntsafstand $f$ kun je hiermee de beeldafstand $b$ uitrekenen.

Ga na dat de beeldafstand als functie van de voorwerpsafstand $v$ gelijk is aan de volgende rationale functie:

$b(v)=\frac{f\cdot v}{v-f}$

$\begin{aligned} \frac{1}{b}+\frac{1}{v}=\frac{1}{f} &\implies \frac{1}{b}=\frac{1}{f}-\frac{1}{v}\\ \\ &\implies \frac{1}{b}=\frac{v}{f\cdot v}-\frac{f}{f\cdot v} \\ \\ &\implies b=\frac{f\cdot v}{v-f}\end{aligned}$

In een enzym-gekatalyseerde biochemische reactie hangt de reactiesnelheid $v$ af van de substraatconcentratie $s.$
De Michealis-Menten vergelijking voor dit verband is

$v=\frac{V\cdot s}{K+s}$ waarbij $V$ de maximale reactiesnelheid is en $K$ de Michaelis-Menten constante.
Ga na dat $v\approx V$ voor grote $s$ en dat $\displaystyle v\approx \frac{V}{K}\cdot s$ voor kleine $s$ .

$\begin{aligned} v=\frac{V\cdot s}{K+s} &\implies v=\frac{V}{\displaystyle\frac{K}{s}+1}\\ \\ &\implies v \approx V \text{ voor grote }s \text{ omdat dan }\frac{K}{s}\approx 0 \\ \\ v=\frac{V\cdot s}{K+s} &\implies v=\frac{\displaystyle\frac{V}{K}\cdot s}{\displaystyle1+\frac{s}{K}}\\ \\ &\implies v \approx \frac{V}{K}\cdot s \text{ voor kleine }s\text{ omdat dan }\frac{s}{K}\approx 0\end{aligned}$

Protolysegraad van een zuur Bij berekening van de protolysegraad van een zuur, d.w.z. de fractie van de oorspronkelijke moleculen (of ionen) dat een proton heeft afgestaan, spelen rationale functies ook een rol.

Stel men heeft $n$ mol van een zuur $Z$ in zuiver water opgelost tot $V$ liter, dan verloopt de reactie

$Z+\mathrm{H}_2\mathrm{O} \rightleftharpoons \mathrm{H}_3\mathrm{O}^{+} +\mathrm{B^-}$ waarbij $Z$ en $B$ een zuur-base-paar zijn (bijvoorbeeld azijnzuur $\mathrm{HAc}$ met $\mathrm{Ac}^{-}$ als notatie voor het acetaation $(\mathrm{CH}_3)\!\mathrm{COO}^{-}$ . In evenwichtstoestand geldt:

$K_z=\frac{\bigl[\mathrm{H}_3\mathrm{O}^{+}\bigr]\cdot\bigl[B\bigr]}{\bigl[Z\bigr]},$ waarbij $K_z$ de zuurconstante is (bijvoorbeeld, $K_{\mathrm{HAc}}=1.7\times 10^{-5}$ bij kamertemperatuur).

Stel dat de protolysegraad gelijk is aan $\alpha$ , het volume van de oplossing gelijk aan $V$ is en het oorspronkelijke aantal zuurmoleculen gelijk aan $n$ is, dan geldt:

$\bigl[\mathrm{H}_3\mathrm{O}^{+}\bigr]=\bigl[B^-\bigr]=\frac{n\alpha}{V}, \quad \bigl[Z\bigr]=\frac{n(1-\alpha)}{V}$ Hieruit volgt:

$K_z=\frac{n}{V}\cdot \frac{\alpha^2}{1-\alpha}$ De zuurconstante $K_z$ is een rationale functie in de protolysegraad $\alpha$ . Is $K_z$ bekend, dan kan men de protolysegraad $\alpha$ berekenen uit de gegevens.

Als de protolysegraad $\alpha$ klein is, dan mag in de noemer van bovenstaande formule in plaats van $1-\alpha$ ook wel het getal 1 gekozen worden. Hieruit volgt dan (ga dat zelf na):

$\alpha\approx \sqrt{\frac{V}{n}\cdot K_{z}}\;,\quad \text{voor kleine }\alpha\text.$