Vergelijkingen met machtsfuncties

Basisfuncties: Machtsfuncties

Vergelijkingen met machtsfuncties

Oplossen van een vergelijking met machtsfuncties Het opsporen van reële oplossingen van een vergelijking met een machtsfunctie in de vorm

$f(x)=c\cdot x^p=y$ wordt altijd op dezelfde manier aangepakt, namelijk ``isoleer $x^p$ en werk daarna de $p$ -de macht van $x^p$ weg door de $(1/p)$ -de macht te nemen''. Voor het isoleren van de juiste macht moet je in een vergelijking soms eerst wortelnotatie omzetten in machtsnotatie. Ook moet je in de gaten houden of je geen oplossingen tussendoor kwijtraakt of juist introduceert.

Voor een vergelijking met een machtsfunctie met een natuurlijk getal $n$ ongelijk aan $1$ als exponent, komt de oplossingsmethode neer op het gebruik van de $n$ -de machtswortel. Voor het vinden van numerieke waarden heb je meestal een rekenmachine nodig.

De grafiek van de functie $f(x)=x^n$ met $n$ een natuurlijk getal groter dan $1$ hangt af van het even of oneven zijn van de exponent $n$ . Dat zie je in het onderstaande interactieve diagram. Hierin is ook de horizontale lijn $y=c$ , voor zeker getal $c$ , te manipuleren. Door hiermee te spelen is snel in te zien hoeveel reële oplossingen van een vergelijking $x^n=c$ er zijn.

even exponent (even $n$ )

GeoGebra

De vergelijking heeft geen oplossing als $c<0$ .
Er zijn twee oplossingen als $c>0$ , nl. $x=\pm\sqrt[n]{c}$ .
Als $c=0$ , dan is de enige oplossing $x=0$ .

oneven exponent (oneven $n$ )

GeoGebra

De vergelijking heeft altijd één oplossing.
Als $c=0$ , dan $x=0$ .
Als $c\neq 0$ , dan $x=\sqrt[n]{c}$ .

Los de volgende vergelijking op binnen de reële getallen exact op:

$3\,x^5-96=0$

$\begin{aligned} 3\,x^5-96&=0 &\phantom{abc}\blue{\text{de gegeven vergelijking}} \\[0.25cm]3\,x^5&=96&\phantom{abc}\blue{3\,x^5\text{ vrijgemaakt}} \\[0.25cm]x^5&=32&\phantom{abc}\blue{\text{beide kanten gedeeld door }3} \\[0.25cm] x&=\sqrt[5]{32} &\phantom{abc}\blue{5\text{-de machtsworteltrekking}}\\[0.25cm] x&=\sqrt[5]{2^5}&\phantom{abc}\blue{\text{getal onder wortelteken als macht}}\\[0.25cm] x&=2&\phantom{abc}\blue{\text{vereenvoudiging}}\end{aligned}$

Nieuw voorbeeld

De grafiek van de functie $f(x)=x^p$ met een positieve onvereenvoudigbare breuk $p=\tfrac{t}{n}$ als exponent hangt af van het even of oneven zijn van $n$ en bij oneven $n$ ook nog van het even of oneven zijn van $t$ . Dat zie je in het onderstaande interactieve diagram. Hierin is ook de horizontale lijn $y=c$ , voor zeker getal $c$ , te manipuleren. Door hiermee te spelen is snel in te zien hoeveel reële oplossingen van een vergelijking $x^{\frac{t}{n}}=c$ er zijn.

even noemer in de exponent (even $n$ )

GeoGebra

De vergelijking heeft geen oplossing als $c<0$ .
Als $c>0$ , dan één oplossing: $x=c^{\frac{n}{t}}=\sqrt[t]{c^n}$ .
Als $c=0$ , dan één oplossing: $x=0$ .

oneven noemer in de exponent (oneven $n$ )

GeoGebra

Als $c=0$ , dan $x=0$ .
Als $c>0$ en $t$ oneven, dan $x=c^{\frac{n}{t}}=\sqrt[t]{c^n}$ .
Als $c>0$ en $t$ even, dan twee oplossingen: $x=c^{\frac{n}{t}}=\sqrt[t]{c^n}$ en $x=-c^{\frac{n}{t}}=-\sqrt[t]{c^n}$ .
Als $c<0$ en $t$ oneven, dan $x=c^{\frac{n}{t}}=\sqrt[t]{c^n}$ .
Als $c<0$ en $t$ even, dan zijn er geen oplossingen.

Altijd je antwoorden checken!

Een waarschuwing is op zijn plaats bij gebroken machtsvergelijkingen: als je de gevonden oplossingen niet controleert in de oorspronkelijke vergelijking, dan heb je misschien schijnbare oplossingen geïntroduceerd. In werkelijkheid zijn ze onmogelijk, soms alleen al omdat je een getal buiten het domein van een machtsfunctie hebt gemaakt.

Een eenvoudig voorbeeld: de vergelijking $\sqrt{x}=-2$ heeft geen reële oplossing, maar links en rechts kwadrateren geeft $x=(-2)^2=4$ . Maar dit is geen oplossing van de oorspronkelijke vergelijking!

Los de volgende vergelijk exact op binnen de verzameling van reële getallen.

$\sqrt[3]{x^2}=2$

$x=2\sqrt{2}\;\;\lor\;\; x=-2\sqrt{2}$

$\begin{aligned}\sqrt[3]{x^2} &= 2&\\[0.25cm] x^{\frac{2}{3}} &= 2& \phantom{abc}\blue{\text{machtsnotatie}}\\[0.25cm] x&=\pm(2)^{\frac{3}{2}}&\phantom{abc}\blue{\text{oplossing via machtsverheffing}}\\[0.25cm] x&=\pm\sqrt[2]{2^3}&\phantom{abc}\blue{\text{wortelnotatie}} \\[0.25cm]x=\sqrt{8}\;\;\lor\;\; x&=-\sqrt{8}&\phantom{abc}\blue{\text{vereenvoudiging}} \\[0.25cm]x=2\sqrt{2}\;\;\lor\;\; x&=-2\sqrt{2} & \phantom{abc}\blue{\text{standaardvorm}}\end{aligned}$ Invullen in de oorspronkelijke vergelijking laat zien dat de gevonden oplossing voldoet. Door het machtsverheffen in de herleiding is er geen foute oplossing geïntroduceerd.

Nieuw voorbeeld