\(x<1 \lor x > 3\)

We hebben de ongelijkheid \[x^2+3 > 4 x\] maar eerst lossen we onderstaande gelijkheid op: \(x^2+3 = 4 x \) oftwel \( x^2-4 x+3 =0\). Dit doen we m.b.v. de abc-formule:
\[\begin{aligned} x&=\frac{4\pm \sqrt{(4)^2-4 \cdot 1 \cdot 3}}{2}\\ \\ &=\frac{4\pm \sqrt{4}}{2}\\ \\ &=\frac{4\pm 2}{2}\end{aligned}\] Dus: \[x=1\quad \text{of}\quad x=3\] Nu moeten we kijken wanneer de ongelijkheid van kracht is. Eerst nemen we een waarde \(x<1\), bijvoorbeeld \(x=-1\). Het linkerlid van de ongelijkheid heeft dan als waarde: \[(-1)^2+3=4\] Het rechterlid heeft als waarde \[4 \cdot -1=-4\] dus voor \(x<1\) geldt dat \(x^2+3 > 4 x\). Nu kiezen we een waarde \(1<x<3\), bijvoorbeeld \(x=2\). Het linkerlid van de ongelijkheid heeft dan als waarde \[(2)^2+3=7\] Het rechterlid van de ongelijkheid heeft dan de waarde \[4\cdot 2=8\] Dus voor \(1<x<3\) is \(x^2+3 < 4 x\). Nu kiezen we nog een waarde \(x>3\), bijvoorbeeld \(x=4\). Dan heeft het linkerlid de waarde \[(4)^2+3=19\] en het rechterlid heeft de waarde \[4 \cdot 4=16\] Dus voor \(x>3\) is \(x^2+3>4 x\). We weten nu dus dat \[x^2+3 > 4 x\] als \(x<1\) of \(x>3\).