Lagrange-interpolatie

Basisfuncties: Veeltermfuncties

Lagrange-interpolatie

Een directe toepassing van de factorstelling is Lagrange-interpolatie.

Laat \(n\) een natuurlijk getal zijn en bekijk \(n+1\) meetpunten \((t_0,y_0)\), \((t_1,y_1)\), \(\ldots\), \((t_n,y_n)\) met de eerste coördinaten onderling verschillend. Dan bestaat er precies één veeltermfunctie van graad kleiner of gelijk aan \(n\) zodaning dat de grafiek van de veeltermfunctie door de meetpunten gaan (dus \(f(t_i) = y_i\) voor \(i=0,1,\ldots,n\)). De interpolatieformule kan opgeschreven worden als \[f(t) =\sum_{i=0}^ny_i\cdot \prod_{\begin{aligned}j&=0\\ j&\ne i\end{aligned}}^n\frac{t-t_j}{t_i-t_j}\tiny.\]

Lineaire Lagrange interpolatie In een eerdere paragraaf hebben we al gezien hoe zo'n functie geconstrueerd kan worden voor \(n=1\), de rechte lijn twee twee punten: eerst maak je voor \(i=0\) en \(i=1\) een eerstegraadsveelterm \(f_i(t)\) die voldoet aan \(f_i(t_i) = y_i\) en \(f_i(t_j) = 0\) voor \(j\ne i\)). De formule hiervoor is: \[f_0(t) =y_0\cdot\frac{t-t_1}{t_0-t_1}\quad\text{en}\quad f_1(t) =y_1\cdot\frac{t-t_0}{t_1-t_0}\] De gevraagde functie \(f\) is dan de som \(f_0(t)+f_1(t)\).

Gegeven twee meetpunten \((2,-5)\) en \((5,-2)\), wat is dan het functievoorschrift \(y(t)=a\,t+b\) waarbij de grafiek door deze twee meetpunten gaat volgens de methode van Lagrange interpolatie?

\(-7\)

Lagrange interpolatie geeft onmiddellijk een functievoorschrift: \[\begin{aligned}y(t)&=-5\cdot\frac{t-5}{2-5} -2\cdot\frac{t-2}{5-2} & \phantom{abcxyz}\blue{\text{Lagrange interpolatie formule}}\\ \\ &={{5\cdot \left(t-5\right)}\over{3}}-{{2\cdot \left(t-2\right)}\over{3}} & \phantom{abcxyz}\blue{\text{vereenvoudiging}}\\ \\ &=t-7 & \phantom{abcxyz}\blue{\text{uitwerking}}\end{aligned}\] Ga maar na dat \(y(2)=-5\) en \(y(5)=-2\).

Het functievoorschrift is dus \[y(t)=t-7\tiny.\] De verticale asafsnede is \(f(0)=-7\).
De grafiek van deze functie is samen met de twee gegeven punten in onderstaande figuur getekend.

Nieuw voorbeeld

Kwadratische Lagrange interpolatie Hieronder staat een voorbeeld van een kwadratische veeltermfunctie die door drie gegeven punten gaat.

Gegeven drie meetpunten \((-11,-3)\), \((-5,7)\) en \((3,5)\), wat is dan het functievoorschrift \(y(t)=at^2+bt+c\) waarbij de grafiek van \(y\) door deze drie meetpunten gaat?

\(-{{23 t^2}\over{168}}-{{11 t}\over{21}}+{{437}\over{56}}\)

De kwadratische functie die in \(t=-11\) de waarde \(-3\) aanneemt en in \(t=-5\) en \(t=3\) de waarde \(0\) heeft is \(\displaystyle -3\dfrac{(t+5)(t-3)}{(-11+5)(-11-3)}=-{{1}\over{28}} (t+5)(t-3)\).

De kwadratische functie die in \(t=-5\) de waarde \(7\) aanneemt en in \(t=-11\) en \(t= 3\) de waarde \(0\) heeft, is \(\displaystyle 7\dfrac{(t+11)(t-3)}{(-5+11)(-5-3)}=-{{7}\over{48}} (t+11)(t-3)\).

De kwadratische functie die in \(t=3\) de waarde \(5\) aanneemt en in \(t=-11\) en \(t= -5\) de waarde \(0\) heeft, is \(\displaystyle 5\dfrac{(t+11)(t+5)}{(3+11)(3+5)}={{5}\over{112}} (t+11)(t+5)\).

De som van deze drie kwadratische functies is de gevraagde functiedefinitie:\[-{{1}\over{28}} (t+5)(t-3)-{{7}\over{48}} (t+11)(t-3)+{{5}\over{112}} (t+11)(t+5)= \\ -{{23 t^2}\over{168}}-{{11 t}\over{21}}+{{437}\over{56}}\tiny.\]

Nieuw voorbeeld

In het onderstaande diagram kun je punten creëren door hun posities in het coördinatenvlak aan te klikken. De grafiek van de veeltermfunctie die door deze punten gaat wordt dan getekend, mits de horizontale coördinaten van de opgegeven punten onderling verschillend zijn en niet meer dan zes meetpunten opgegeven worden.