Basisfuncties: Rationale functies
Deling met rest voor veeltermen
Net zoals je bij natuurlijke getallen ongelijk aan nul het delen met rest en de staartdeling kunt introduceren, is dit ook mogelijk voor quotiënten van veeltermen. Zo kun je een rationale functie \(\dfrac{p(x)}{d(x)}\) met \(p(x)\) een veelterm met graad groter dan die van de veelterm \(d(x)\) anders opschrijven. Onderstaand voorbeeld illustreert dit.
Voorbeeld van staartdeling \[\begin{array}[t]{rrl}
x^2+5\; \Bigm/ \!\!\! & 3x^3-x^2+16x-10 & \!\!\! \Bigm{\backslash} \; 3x-1 \\
& \underline{3x^3\,\,\phantom{-x^2}+15x\phantom{-10}\,\,\,} & \qquad \blue{\uparrow}\\
& \phantom{3x^3}-x^2\,+\phantom{15}x-10 & \blue{\text{quotiënt}}\\
& \phantom{0} \underline{-x^2\,\phantom{abcdefg}-5} & \\
& \phantom{0}x\,-\,5 & \blue{ \leftarrow \text{rest}}
\end{array}\] Dus: \[3x^3-x^2+16x-10= (3x-1)\cdot (x^2+5) +x-5\] en \[\frac{3x^3-x^2+16x-10}{x^2+5}=3x-1 \textit{ rest }x-5\text.\]
Als de rest gelijk is aan nul, dan gaat de deling op. Dit is soms gelijk te zien als je een factor herkent in de veelterm die in de teller staat, zoals in onderstaand voorbeeld.
\[\begin{aligned}\frac{x^3+1}{x+1} &= \frac{(x+1)(x^2-x+1)}{x+1}\\[0.25cm] &= x^2-x+1\end{aligned}\] Let op: het gaat hier om een formele berekening, want strikt genomen is de rationale functie aan de linkerkant niet gedefinieerd in \(x=-1\) en die aan de rechterkant wel. De deling levert dus de continue voortzetting van de functie aan de linkerkant op.
Bij een gebroken lineaire functie is staartdeling overbodig zoals onderstaand voorbeeld illustreert.
\[\begin{aligned}\frac{x+1}{x+2} &= \frac{(x+2)-1}{x+2}\\[0.25cm] &=1-\frac{1}{x+2}\end{aligned}\]
Bovenstaande voorbeelden leiden tot onderstaande meer formele beschrijving van deling met rest en de staartdeling voor veeltermen.
Stel dat \(p(x)\) en \(d(x)\) twee veeltermen zijn met \(q(x)\neq 0\). Dan bestaan er unieke veeltermen \(q(x)\) (het quotiënt) en \(r(x)\) (de rest) zodanig dat \[p(x)=q(x)\cdot d(x) + r(x)\qquad\text{en}\qquad \text{graad van }r(x) < \text{graad van }d(x)\] Als \(r(x)=0\), dan is \(d(x)\) een deler van \(p(x)\) en \(\frac{p(x)}{d(x)}=q(x)\) is het quotiënt.
De volgende vorm van een staartdeling is een realisatie van het volgende algoritme voor de zogenaamde Euclidische deling voor veeltermen.
Euclidische deling voor veeltermen Om een veelterm \(p(x)\), het 'deeltal', te delen met rest door de deler \(d(x)\) kun je als volgt te werk gaan:
- Zet de termen in \(p(x)\) en \(d(x)\) op dalende volgorde van graad. Ontbrekende machten in het deeltal kun je aanvullen met coëfficiënten nul of gewoon open laten.
- Deel de kopterm in \(p(x)\) door de kopterm van \(d(x)\). Zo krijg je een voorlopig quotiënt.
- Vermenigvuldig het zojuist berekende voorlopige quotiënt met de deler en trek dit product af van het deeltal \(p(x)\). Zo krijg je een voorlopige rest
- Deel de kopterm van de voorlopige rest door de kopterm van de deler, en voeg het resultaat als nieuwe term toe aan het voorlopige quotiënt. Dit geeft een nieuw voorlopig quotiënt.
- Vermenigvuldig de zojuist berekende term van het voorlopige quotiënt met de deler en trek dit product af van het deeltal. Zo krijg je een nieuwe voorlopige rest.
- Herhaal de vorige twee stappen tot de graad van de voorlopige rest strikt kleiner is dan de graad van de deler. De laatste voorlopige rest is dan de gezochte rest.
Voorbeeld van Euclidische deling \[\begin{array}[t]{rrl}
x^2-1\; \Bigm/ \!\!\! & x^4+2x^3+3x^2+4x+5 & \!\!\! \Bigm{\backslash} \; x^2+2x+4 \\
& \underline{x^4\phantom{+2x^3}\;\;-x^2\phantom{+4x+5}\;\;\;} & \qquad\qquad\qquad \blue{\leftarrow x^2\text{ in }x^4\text{ gaat }x^2\text{ keer}}\\
& 2x^3+4x^2+4x+5 & \qquad\qquad\qquad \blue{\leftarrow\text{trek af}}\\
& \underline{2x^3\phantom{+4x^2}\;-2x\phantom{+5}\;\;} & \qquad\qquad\qquad \blue{\leftarrow x^2\text{ in }2x^3\text{ gaat }2x\text{ keer}}\\
& 4x^2+6x+5 & \qquad\qquad\qquad\blue{\leftarrow\text{trek af}}\\
& \underline{4x^2\phantom{+6x}\;\,-4} & \qquad\qquad\qquad \blue{\leftarrow x^2\text{ in }4x^2\text{ gaat }4\text{ keer}}\\
& 6x+9 & \qquad\qquad\qquad\blue{\leftarrow\text{trek af}}\\
\end{array}\] Dus: \[x^4+2x^3+3x^2+4x+5= (x^2+2x+4)\cdot (x^2-1) +6x-9\] en \[\frac{x^4+2x^3+3x^2+4x+5}{x^2-1}=x^2+2x+4 \textit{ rest }6x+9\text.\]
Volg je het algoritme zoals het opgeschreven is, dan kan een uitwerking er als in onderstaand gerandomiseerd voorbeeld uit zien.
\(q(x)={}\)\(x^2+x+1\)
\(r(x)={}\)\(x\)
Dus: \(2\,x^4+2\,x^3+x^2-1 = (x^2+x+1)(2\,x^2-1)+x\)
\[\begin{array}{ll} \text{Stap 1:}&\text{De termen in het deeltal } p=2x^4+2x^3+x^2-1\\ &\text{en in de deler }d=2x^2-1 \text{ staan qua graad in dalende volgorde.}\\ &\text{Stel de voorlopige rest gelijk aan }0\text{.}\\\text{Stap 2:} &\text{Deel de leidende term van }2x^4+2x^3+x^2-1\\ & \text{door de leidende term van }2x^2-1\text{.}\\ & \text{In dit geval geeft deling van }2x^4\text{ door }2x^2\text{ de nieuwe term }x^2\\ & \text{voor het voorlopige quotiënt.} \\\text{Stap 3:} &\text{Vermenigvuldig de zojuist berekende term van het voorlopige quotiënt}\\ &\text{met de deler en trek dit product af van het deeltal. Zo krijg je een nieuwe voorlopige rest.}\\ &\text{Die is in dit geval gelijk aan }2x^3+2x^2-1\text{.}\\\text{Stap 4:} &\text{Deel de leidende term van }2x^3+2x^2-1\\ & \text{door de leidende term van }2x^2-1\text{.}\\ & \text{In dit geval geeft deling van }2x^3\text{ door }2x^2\text{ de nieuwe term }x\\ & \text{voor het voorlopige quotiënt.} \\\text{Stap 5:} &\text{Vermenigvuldig de zojuist berekende term van het voorlopige quotiënt}\\ &\text{met de deler en trek dit product af van het deeltal. Zo krijg je een nieuwe voorlopige rest.}\\ &\text{Die is in dit geval gelijk aan }2x^2+x-1\text{.}\\\text{Stap 6:} &\text{Deel de leidende term van }2x^2+x-1\\ & \text{door de leidende term van }2x^2-1\text{.}\\ & \text{In dit geval geeft deling van }2x^2\text{ door }2x^2\text{ de nieuwe term }1\\ & \text{voor het voorlopige quotiënt.} \\\text{Stap 7:} &\text{Vermenigvuldig de zojuist berekende term van het voorlopige quotiënt}\\ &\text{met de deler en trek dit product af van het deeltal. Zo krijg je een nieuwe voorlopige rest.}\\ &\text{Die is in dit geval gelijk aan }x\\\text{Stap 8:} & \text{De graad van de voorlopige rest is nu kleiner dan de graad van de deler; het algoritme is klaar.} \\ & \text{De rest bij deling is gelijk aan de laatst berekende voorlopige rest.} \\ & \text{rest}=x\\ & \text{Optellen van de gevonden termen in de voorlopige quotiënten geeft:} \\ & \text{quotiënt}=x^2+x+1\end{array}\]
Een andere, maar minder efficiënte methode voor deling met rest volgt een directe aanpak met behulp van stelsels van lineaire vergelijkingen; zie onderstaand gerandomiseerd voorbeeld.
\(q(x)={}\)\(3\, x^3-2\, x^2+x-2\)
\(r(x)={}\)\(x^2+2\, x-2\)
Merk eerst op dat de graad van het gezochte quotiënt gelijk is aan \(3\), namelijk het verschil tussen de graad van \(p(x)\) en de graad van \(d(x)\). Stel \(q(x)=a\, x^3+b\, x^2+c\, x+d\).
Omdat \(p(x)=q(x)\cdot d(x)+r(x)\) en de graad van \(r(x)\) kleiner dan de graad van \(d(x)\) is, d.w.z. kleiner dan \(2\), moeten de termen van graad hoger dan \(2\) gelijk zijn aan die van \(q(x)\cdot d(x)\). Gelijkstellen van de coëfficiënten van \(x^7, x^6\ldots,x^3\) in \(p(x)\) met die van het product \(q(x)\cdot d(x)\) geeft het volgende stelsel van lineaire vergelijkingen in de onbekenden \(a\), \(b\), \(c\), \(d\), \(e\).
\[ \left[ -3=-a , 8=2\, a-b , -8=-c+2\, b-a , 3=-d+2\, c-b-a \right] \] De oplossing van dit stelsel is \[\left[ a=3 , b=-2 , c=1 , d=-2 \right] \] Substitutie in \(q(x)=a\, x^3+b\, x^2+c\, x+d\) levert quotiënt op: \[q(x)=3\, x^3-2\, x^2+x-2\] De rest bij deling is te bereken via \(r(x)=p(x)-q(x)\cdot d(x)\) en wegwerken van de haakjes. Het resultaat is \[r(x)=x^2+2\, x-2\]
