Basisfuncties: Rationale functies
Grootste gemene deler en kleinste gemene veelvoud van veeltermen
Bij deling met rest voor veeltermen en staartdeling van veeltermen hebben we al gewezen op de analogie met deze bewerkingen voor gehele getallen. Dat roept de vraag op of er ook zoiets als grootste gemene deler van veeltermen bestaan naar analogie met ggd van gehele getallen. Het antwoord is ja en zelfs het algoritme van Euclides om de ggd te berekenen heeft zijn equivalente algoritme voor veeltermen!
Een veelterm \(d(x)\) is een deler van de veelterm \(p(x)\) als er een veelterm \(q(x)\) bestaat zodanig dat \(p(x)=q(x)\cdot d(x)\).
Anders gezegd: als \(d(x)\) een deler van de veelterm \(p(x)\) is, dan is \(p(x)\) een veelvoud van \(d(x)\).
Grootste gemene deler
Voor veeltermen \(p(x)\) en \(q(x)\) noemen we een veelterm die zowel deler is van \(p(x)\) als van \(q(x)\) een gemeenschappelijke deler van \(p(x)\) en \(g(x)\).
Als \(p(x)\) en \(q(x)\) allebei ongelijk aan de nulveelterm zijn, dan heet een gemeenschappelijke deler van grootst mogelijke graad een grootste gemene deler.
De grootste gemene deler is uniek op een scalair veelvoud ongelijk aan \(0\) na. Als je de kopcoëfficiënt door scalaire vermenigvuldiging gelijk aan \(1\) maakt, dat wil zeggen een monische veelterm ervan maakt, is de grootste gemene deler van veeltermen uniek en wordt deze aangeduid met ggd.
Twee veeltermen heten onderling ondeelbaar als ze enkel
en alleen \(1\) als gemeenschappelijke deler hebben, d.w.z. als hun ggd gelijk is aan \(1\).
Voorbeeld
Uit \[x^3-1=(x^2+x+1)(x-1)\] volgt dat \[\textbf{ggd}(2x^3-2, x^2+x+1)=x-1\] en \[x^3-1\text{ is een veelvoud van }x-1\]
De veeltermen \(x^2-1\) en \(x^2-4\) zijn onderling ondeelbaar want hun gefactoriseerde vormen hebben geen enkele factor gemeen.
Kleinste gemene veelvoud Voor veeltermen \(p(x)\) en \(q(x)\) noemen we de monische veelterm met de kleinste graad die een veelvoud is van beide veeltermen het kleinste gemene veelvoud dat we noteren als \(\textbf{kgv}\bigl(p(x),q(x)\bigr)\).
Rekenregels voor ggd en kgv Laat \(a\) en \(b\) veeltermen in één variable zijn, waarbij ten minste één van de twee ongelijk is aan \(0\). Dan zijn onderstaande beweringen voor de ggd en het kgv juist.
- \(\mathrm{ggd}(a,b)= \mathrm{ggd}(b,a)\).
- \(\text{ggd}(a,0)=\frac{a}{c}\) waarbij \(c\) de kopcoëfficiënt van \(c\) is
- Als \(c\) een gemeenschappelijke deler is van \(a\) en \(b\) dan \(\mathrm{ggd}(a,b)= c\times \mathrm{ggd}\left(\frac{a}{c},\frac{b}{c}\right)\).
- Als \(a=q\times b+r\), d.w.z. als deling van \(a\) door \(b\) de rest \(r\) oplevert, dan \(\mathrm{ggd}(a,b)=\mathrm{ggd}(b,r)\).
- Als \(d\) een gemeenschappelijke deler is van\(a\) en\(b\) met kopcoëfficiënt gelijk aan \(1\) is, dan geldt \(\mathrm{ggd}(a,b) = d\cdot\mathrm{ggd}\left(\frac{a}{d},\frac{b}{d}\right)\).
- \(\mathrm{ggd}(a,b)\cdot\mathrm{kgv}(a,b)=a\cdot b\).
Het Euclidisch algoritme Laat \(a\) en \(b\) twee veeltermen in één variable zijn met \(\text{graad}(a)\ge \text{graad(b)}\) (als niet aan de ordeningsrelatie voldaan is verwissel je gewoon de twee veeltermen). De ggd van \(a\) en \(b\) kan nu als volgt worden berekend:
- Bereken de rest \(r\) van \(a\) bij deling door \(b\).
- Vervang \(a\) door \(b\) en \(b\) door \(r\).
- Herhaal de voorafgaande stappen totdat \(b\) gelijk is aan \(0\).
- De laatste waarde van \(a\) is gelijk aan \(\mathrm{ggd}(a,b)\).
Nota bene: Je kunt in het antwoordveld ook tussenresultaten van de vorm \(\mathrm{ggd}(\Box,\Box)\) invoeren en stapsgewijs naar het eindantwoord toewerken.
Het Euclidisch algoritme verloopt als volgt: \[\begin{aligned}
\mathrm{ggd}(x^4-x^3-5\,x^2+13\,x-8,x^3-6\,x+5) &= \mathrm{ggd}(x^3-6\,x+5,x^2+2\,x-3) \\[0.1cm]
{\small\blue{\text{omdat } x^4-x^3-5\,x^2+13\,x-8}}&{\small\blue{\,=(x-1)\cdot (x^3-6\,x+5)+x^2+2\,x-3}}\\[0.4cm]
&= \mathrm{ggd}(x^2+2\,x-3,x-1) \\[0.1cm]
{\small\blue{\text{omdat } x^3-6\,x+5}} &{\small\blue{\,=(x-2)\cdot (x^2+2\,x-3)+x-1}}\\[0.4cm]
&= \mathrm{ggd}(x-1,0) \\[0.1cm]
{\small\blue{\text{omdat } x^2+2\,x-3}} &{\small\blue{\,=(x+3)\cdot (x-1)+0}}\\[0.4cm]
&= x-1\end{aligned}\]
