Basisfuncties: Rationale functies
Normaalvorm van een rationale functie
Net als breuken op een unieke manier geschreven kunnen worden in onvereenvoudigbare vorm, kunnen ook rationale functie in een unieke onvereenvoudigbare vorm geschreven worden.
Bij elke rationale functie hoort een unieke vorm \[\dfrac{p(x)}{q(x)}\] waarbij \(p(x)\) en \(q(x)\) onderling ondeelbare veeltermen zijn, d.w.z. met \(\gcd\left(p(x),q(x)\right)=1\), en \(q(x)\) kopcoëfficiënt \(1\) heeft.
Een dergelijke breuk wordt onvereenvoudigbaar genoemd. We noemen het ook wel de normaalvorm van een rationale functie.
De veeltermen in de teller en noemer kunnen ontbonden worden in factoren via inspectie: \[\begin{aligned} x^2-5\,x+4 &= \left(x-4\right)\,\left(x-1\right)\\[0.25cm] x^2-x-12 &= \left(x-4\right)\,\left(x+3\right)\end{aligned}\] Dus: \[\begin{aligned} \frac{x^2-5\,x+4}{x^2-x-12} &= \frac{\left(x-4\right)\,\left(x-1\right)}{\left(x-4\right)\,\left(x+3\right)}\\[0.25cm] &= {{x-1}\over{x+3}}\end{aligned}\] Omdat de kopcoëfficient van de noemer in de laatste uitdrukking gelijk aan \(1\) is, hebben we inderdaad de normaalvorm bereikt.
\(\phantom{abc}\)
In plaats van ontbinden in factoren hadden we natuurlijk ook de grootste gemene deler van de teller en de noemer kunnen bepalen, om vervolgens zowel de teller als de noemer hierdoor te delen:
\[\begin{aligned} \mathrm{ggd}(x^2-5\,x+4,x^2-x-12) &= \mathrm{ggd}(x^2-x-12,-4\,x+16)\\[0.1cm] {\small \blue{\text{omdat }x^2-5\,x+4}} &\;{\small \blue{= (x^2-x-12) -4\,x+16}}\\[0.4cm] &= \mathrm{ggd}(-4\,x+16,0)\\[0.1cm] {\small \blue{\text{omdat }x^2-x-12}} &\;{\small \blue{= -{{x+3}\over{4}}\cdot (-4\,x+16) + 0}}\\[0.4cm] &= x-4\\[0.1cm] {\small \blue{\text{ggd (met kopcoëfficiënt 1)}}}& {\small \blue{\text{ afgelezen uit vorige regel}}}\end{aligned}\] Uit \[\frac{x^2-5\,x+4}{x-4}=x-1\quad\text{en}\quad \frac{x^2-x-12}{x-4}=x+3\] volgt dan weer dat \[\frac{x^2-5\,x+4}{x^2-x-12}={{x-1}\over{x+3}}\]
