Breuksplitsing: verschillende lineaire factoren in de noemer

Basisfuncties: Rationale functies

Breuksplitsing: verschillende lineaire factoren in de noemer

Optellen van twee rationale functies doen we door de functies onder één noemer te brengen en het resultaat is een breuk met een samengestelde noemer.

Soms is het handiger om de omgekeerde weg te bewandelen en een rationale functie met een samengestelde noemer te herschrijven als een som van eenvoudigere breuken. Dit omgekeerde proces heet breuksplitsen. Eerst maar eens twee eenvoudige voorbeelden die we kunnen generaliseren.

Voorbeeld 1

$\begin{aligned} \frac{1}{x}+\frac{1}{1-x} &= \frac{1-x}{x(1-x)}+\frac{x}{x(1-x)} & \blue{\text{noemers gelijknamig gemaakt}}\\[0.25cm] &= \frac{1-x+x}{x(1-x)}& \blue{\text{tellers opgeteld}}\\[0.25cm] &= \frac{1}{x(1-x)}& \blue{\text{breuk met samengestelde noemer}}\end{aligned}$
Maar hoe kom je van $\frac{1}{x(1-x)}$ naar de som $\frac{1}{x}+\frac{1}{1-x}$ ? Het idee is om $\frac{1}{x(1-x)}$ te schrijven als som van veelvouden van $\frac{1}{x}$ en $\frac{1}{1-x}$ . Met andere woorden, we stellen

$\frac{1}{x(1-x)}=\frac{a}{x}+\frac{b}{1-x}$ voor zekere, nog nader te bepalen getallen $a$ en $b$ . Voor de rechterkant hebben we

$\begin{aligned}\frac{a}{x}+\frac{b}{1-x} &= \frac{a(1-x)}{x(1-x)}+\frac{bx}{x(1-x)} & \blue{\text{noemers gelijknamig gemaakt}} \\[0.25cm]&=\frac{a(1-x)+bx}{x(1-x)} & \blue{\text{tellers opgeteld}} \\[0.25cm] &=\frac{(b-a)x+a}{x(1-x)} & \blue{\text{termen bij elkaar verzameld}}\end{aligned}$ Dan moet gelden dat $(b-a)x+a=1$ voor alle $x$ .
Dit kan alleen als $b-a=0$ en $a=1$ .
Hieruit volgt dat $a=1$ en $b=1$ (deze resultaten krijg je ook door $x=0$ en $x=1$ in $(b-a)x+a=1$ te kiezen). Zo hebben we de som teruggevonden waar we in het begin van dit voorbeeld vanuit gingen.

Voorbeeld 2 Stel

$\frac{4x-3}{(x-2)(x-1)}=\frac{a}{x-2}+\frac{b}{x-1}$ voor zekere, nog nader te bepalen getallen $a$ en $b$ . Voor het rechterlid hebben we

$\begin{aligned}\frac{a}{x-2}+\frac{b}{x-1} &= \frac{a(x-1)}{(x-2)(x-1)}+\frac{b(x-2)}{(x-2)(x-1)} & \blue{\text{noemers gelijknamig gemaakt}} \\[0.25cm]&=\frac{a(x-1)+b(x-2)}{(x-2)(x-1)} & \blue{\text{tellers opgeteld}} \\[0.25cm] &=\frac{(a+b)x-(a+2b)}{(x-2)(x-1)} & \blue{\text{termen bij elkaar verzameld}}\end{aligned}$ Dan moet gelden dat $(a+b)x-(a+2b)=4x-3$ voor alle $x$ .
Dit kan alleen als $a+b=4$ en $a+2b=3$ .
Dit is een stelsel van twee lineaire vergelijkingen in twee onbekenden, dat eenvoudig op te lossen is: $a=5$ en $b=-1$ .
Dus:

$\frac{4x-3}{(x-2)(x-1)}=\frac{5}{x-2}-\frac{1}{x-1}$
Merk op dat de scalair $5$ bij $\frac{1}{x-2}$ gelijk is aan de waarde bij substitutie van $x=2$ in $\frac{4x-3}{(x-1)}$ .
Evenzo is de scalair $-1$ bij $\frac{1}{x-1}$ gelijk is aan de waarde bij substitutie van $x=1$ in $\frac{4x-3}{(x-2)}$ .

$\phantom{abc}$

Bovenstaande voorbeelden illustreren hoe breuksplitsing uitgevoerd kan worden van een rationale functie $\frac{p(x)}{q(x)}$ met de graad van $p(x)$ kleiner dan de graad van $q(x)$ en waarbij de factorontbinding van de noemer $q(x)$ alleen bestaat uit verschillende lineaire factoren (zonder herhaling dus).

We bekijken een rationale functie $\frac{p(x)}{q(x)}$ met de graad van $p(x)$ kleiner dan de graad van $q(x)$ en met $q(x)$ een veelterm die geschreven kan worden als $n$ verschillende lineaire factoren, zeg,

$q(x)=(x-\alpha_1)(x-\alpha_2)\cdots(x-\alpha_n)$ met $a_i\neq\alpha_j$ voor $i\neq j$ en $1\le i,j,\le n$ . Dan is de breuksplitsing $\frac{p(x)}{q(x)}$ van de volgende vorm:

$\frac{p(x)}{q(x)}=\frac{a_1}{x-\alpha_1}+\frac{a_2}{x-\alpha_2}+\cdots +\frac{a_n}{x-\alpha_n}$ De coëfficiënten kunnen berekend worden door een stelsel van $n$ lineaire vergelijkingen met $n$ onbekenden op te stellen en op te lossen. Maar er is ook een direct methode. Als we bovenstaande breuksplitsing links en rechts vermenigvuldigen met $x-\alpha_j$ voor $1\le j\le n$ dan krijgen we

$(x-\alpha_j)\cdot \frac{p(x)}{q(x)}=a_1\frac{x-\alpha_j}{x-\alpha_1}+\cdots +a_{j-1}\frac{x-\alpha_j}{x-\alpha_{j-1}}+a_j+a_{j+1}\frac{x-\alpha_j}{x-\alpha_{j+1}}+\cdots +a_n\frac{x-a_j}{x-\alpha_n}$ Dus:

$\begin{aligned}a_j &=\lim_{x\to\alpha_j}(x-\alpha_j)\cdot\frac{p(x)}{q(x)}\\[0.25cm] &=\frac{p(\alpha_j)}{(\alpha_j-\alpha_1)\cdots(\alpha_j-\alpha_{j-1})\cdot (\alpha_{j}-\alpha_{j+1})\cdots (\alpha_{j}-\alpha_n)} \end{aligned}$ In praktijk bereken je $a_j$ door de factor $x-\alpha_j$ in de noemer van $\frac{p(x)}{q(x)}$ weg te halen en in de zo verkregen rationale functie vervolgens $x=\alpha_j$ in te vullen.