Voorbeeld 1 $$\begin{aligned}\frac{3x+2}{x^2+2x+1} &= \frac{3x+2}{(x+1)^2}\\[0.25cm] &= \frac{3(x+1)-1}{(x+1)^2}\\[0.25cm]&= \frac{3}{x+1}-\frac{1}{(x+1)^2}\end{aligned}$$

Voorbeeld 2 $$\begin{aligned}\frac{4x^2+3x+2}{(x+1)^3} &= \frac{4(x^2+2x+1)-5x-2}{(x+1)^3} &\blue{\text{bedenk dat }(x+1)^2=x^2+2x+1}\\[0.25cm]&=\frac{4(x+1)^2-5(x+1)+3}{(x+1)^3}&\blue{\text{maak } x+1\text{ termen}}\\[0.25cm]&=\frac{3}{(x+1)^3}-\frac{5}{(x+1)^2}+\frac{4}{x+1}&\blue{\text{splits de breuk}}\end{aligned}$$ $\phantom{abc}$

Het herschrijven van de teller als een som van van machten van $x+1$ is wat gepuzzel; wie hier niet zo van houdt kan onderstaande directe methode gebruiken. Stel $$\frac{4x^2+3x+2}{(x+1)^3}=\frac{a}{x+1}+\frac{b}{(x+1)^2}+\frac{c}{(x+1)^3}$$ voor zekere, nog nader te bepalen getallen $a$, $b$ en $c$. Voor de rechterkant hebben we $$\begin{aligned}\frac{a}{x+1}+\frac{b}{(x+1)^2}+\frac{c}{(x+1)^3} &= \frac{a(x+1)^2}{(x+1)^3}+\frac{b(x+1)}{(x+1)^3}+\frac{c}{(x+1)^3}\\[0.25cm] &\phantom{abcdefg}\blue{\text{noemers gelijknamig gemaakt}} \\[0.25cm]&=\frac{a(x+1)^2+b(x+1)+c}{(x+1)^3} \\[0.25cm] &\phantom{abcdefg}\blue{\text{tellers opgeteld}} \\[0.25cm]&=\frac{a(x^2+2x+1)+b(x+1)+c}{(x+1)^3}\\[0.25cm] &\phantom{abcdefg}\blue{\text{macht uitgewerkt}}\\[0.25cm] &=\frac{ax^2+(b+2a)x+(a+b+c)}{(x+1)^3}\\[0.25cm]&\phantom{abcdefg}\blue{\text{termen bij elkaar verzameld}}\end{aligned}$$ Dan moet gelden dat $ax^2+(b+2a)x+(a+b+c)=4x^2+3x+2$ voor alle $x$.
Maar veeltermen zijn enkel en alleen aan elkaar gelijk wanneer hun coëfficiënten gelijk zijn.
Dit kan hier alleen als $a=4$, $b+2a=3$ en $a+b+c=2$. Hieruit volgt dat $a=4$, $b=-5$ en $c=3$.
Zo hebben we de breuksplitsing opnieuw bepaald.

Voorbeeld 3 Stel $$\frac{x^2+2x+3}{x(x-1)^2}=\frac{a}{x}+\frac{b}{x-1}+\frac{c}{(x-1)^2}$$ voor zekere, nog nader te bepalen getallen $a$, $b$ en $c$. Voor de rechterkant hebben we $$\begin{aligned}\frac{a}{x}+\frac{b}{x-1}+\frac{c}{(x-1)^2} &= \frac{a(x-1)^2}{x(x-1)^2} +\frac{bx(x-1)}{x(x-1)^2}+\frac{cx}{x(x-1)^2}\\[0.25cm] &\phantom{abcdefg}\blue{\text{noemers gelijknamig gemaakt}} \\[0.25cm]&=\frac{a(x-1)^2+bx(x-1)+cx}{x(x-1)^2} \\[0.25cm] &\phantom{abcdefg}\blue{\text{tellers opgeteld}} \\[0.25cm]&=\frac{a(x^2-2x+1)+b(x^2-x)+cx}{x(x-1)^2}\\[0.25cm] &\phantom{abcdefg}\blue{\text{termen bij }a\text{ en }b\text{ uitgewerkt}}\\[0.25cm] &=\frac{(a+b)x^2+(c-b-2a)x+c}{x(x-1)^2}\\[0.25cm]&\phantom{abcdefg}\blue{\text{termen bij elkaar verzameld}}\end{aligned}$$ Dan moet gelden dat $(a+b)x^2+(c-b-2a)x+a=x^2+2x+3$ voor alle $x$.
Maar twee veeltermen zijn enkel en alleen aan elkaar gelijk wanneer hun coëfficiënten gelijk zijn.
Dit kan hier alleen als $a+b=1$, $c-b-2a=2$ en $a=3$. Hieruit volgt dat $a=3$, $b=-2$ en $c=6$.
Zo hebben we de breuksplitsing opnieuw bepaald: $$\frac{x^2+2x+3}{x(x-1)^2}=\frac{3}{x}-\frac{2}{x-1}+\frac{6}{(x-1)^2}$$