Basisfuncties: Rationale functies
Breuksplitsing: met herhaalde lineaire factoren in de noemer
Eerst maar eens drie eenvoudige voorbeelden die we kunnen generaliseren.
Voorbeeld 1 \[\begin{aligned}\frac{3x+2}{x^2+2x+1} &= \frac{3x+2}{(x+1)^2}\\[0.25cm] &= \frac{3(x+1)-1}{(x+1)^2}\\[0.25cm]&= \frac{3}{x+1}-\frac{1}{(x+1)^2}\end{aligned}\]
Voorbeeld 2 \[\begin{aligned}\frac{4x^2+3x+2}{(x+1)^3} &= \frac{4(x^2+2x+1)-5x-2}{(x+1)^3} &\blue{\text{bedenk dat }(x+1)^2=x^2+2x+1}\\[0.25cm]&=\frac{4(x+1)^2-5(x+1)+3}{(x+1)^3}&\blue{\text{maak } x+1\text{ termen}}\\[0.25cm]&=\frac{3}{(x+1)^3}-\frac{5}{(x+1)^2}+\frac{4}{x+1}&\blue{\text{splits de breuk}}\end{aligned}\] \(\phantom{abc}\)
Het herschrijven van de teller als een som van van machten van \(x+1\) is wat gepuzzel; wie hier niet zo van houdt kan onderstaande directe methode gebruiken. Stel \[\frac{4x^2+3x+2}{(x+1)^3}=\frac{a}{x+1}+\frac{b}{(x+1)^2}+\frac{c}{(x+1)^3}\] voor zekere, nog nader te bepalen getallen \(a\), \(b\) en \(c\). Voor de rechterkant hebben we \[\begin{aligned}\frac{a}{x+1}+\frac{b}{(x+1)^2}+\frac{c}{(x+1)^3} &= \frac{a(x+1)^2}{(x+1)^3}+\frac{b(x+1)}{(x+1)^3}+\frac{c}{(x+1)^3}\\[0.25cm] &\phantom{abcdefg}\blue{\text{noemers gelijknamig gemaakt}} \\[0.25cm]&=\frac{a(x+1)^2+b(x+1)+c}{(x+1)^3} \\[0.25cm] &\phantom{abcdefg}\blue{\text{tellers opgeteld}} \\[0.25cm]&=\frac{a(x^2+2x+1)+b(x+1)+c}{(x+1)^3}\\[0.25cm] &\phantom{abcdefg}\blue{\text{macht uitgewerkt}}\\[0.25cm] &=\frac{ax^2+(b+2a)x+(a+b+c)}{(x+1)^3}\\[0.25cm]&\phantom{abcdefg}\blue{\text{termen bij elkaar verzameld}}\end{aligned}\] Dan moet gelden dat \(ax^2+(b+2a)x+(a+b+c)=4x^2+3x+2\) voor alle \(x\).
Maar veeltermen zijn enkel en alleen aan elkaar gelijk wanneer hun coëfficiënten gelijk zijn.
Dit kan hier alleen als \(a=4\), \(b+2a=3\) en \(a+b+c=2\). Hieruit volgt dat \(a=4\), \(b=-5\) en \(c=3\).
Zo hebben we de breuksplitsing opnieuw bepaald.
Voorbeeld 3 Stel \[\frac{x^2+2x+3}{x(x-1)^2}=\frac{a}{x}+\frac{b}{x-1}+\frac{c}{(x-1)^2}\] voor zekere, nog nader te bepalen getallen \(a\), \(b\) en \(c\). Voor de rechterkant hebben we \[\begin{aligned}\frac{a}{x}+\frac{b}{x-1}+\frac{c}{(x-1)^2} &= \frac{a(x-1)^2}{x(x-1)^2} +\frac{bx(x-1)}{x(x-1)^2}+\frac{cx}{x(x-1)^2}\\[0.25cm] &\phantom{abcdefg}\blue{\text{noemers gelijknamig gemaakt}} \\[0.25cm]&=\frac{a(x-1)^2+bx(x-1)+cx}{x(x-1)^2} \\[0.25cm] &\phantom{abcdefg}\blue{\text{tellers opgeteld}} \\[0.25cm]&=\frac{a(x^2-2x+1)+b(x^2-x)+cx}{x(x-1)^2}\\[0.25cm] &\phantom{abcdefg}\blue{\text{termen bij }a\text{ en }b\text{ uitgewerkt}}\\[0.25cm] &=\frac{(a+b)x^2+(c-b-2a)x+c}{x(x-1)^2}\\[0.25cm]&\phantom{abcdefg}\blue{\text{termen bij elkaar verzameld}}\end{aligned}\] Dan moet gelden dat \((a+b)x^2+(c-b-2a)x+a=x^2+2x+3\) voor alle \(x\).
Maar twee veeltermen zijn enkel en alleen aan elkaar gelijk wanneer hun coëfficiënten gelijk zijn.
Dit kan hier alleen als \(a+b=1\), \(c-b-2a=2\) en \(a=3\). Hieruit volgt dat \(a=3\), \(b=-2\) en \(c=6\).
Zo hebben we de breuksplitsing opnieuw bepaald: \[\frac{x^2+2x+3}{x(x-1)^2}=\frac{3}{x}-\frac{2}{x-1}+\frac{6}{(x-1)^2}\]
\(\phantom{abc}\)
Bovenstaande voorbeelden illustreren hoe breuksplitsing uitgevoerd kan worden van een rationale functie \(\frac{p(x)}{q(x)}\) met de graad van \(p(x)\) kleiner dan de graad van \(q(x)\) en waarbij de factorontbinding van \(q\) nog steeds alleen bestaat uit lineaire factoren, maar wel met mogelijke herhalingen. Elke verschillende factor mag dus tot een zekere macht met positieve natuurlijke exponent verheven zijn in de ontbinding van de noemer.
Breuksplitsing bij een noemer die ontbonden kan worden in lineaire factoren, maar mogelijk met herhalingen We bekijken een rationale functie \(\frac{p(x)}{q(x)}\) met de graad van \(p(x)\) kleiner dan de graad van \(q(x)\) en met \(q(x)\) een veelterm die geschreven kan worden als \(n\) verschillende lineaire factoren, zeg, \[q(x)=(x-\alpha_1)^{m_1}(x-\alpha_2)^{m_1}\cdots(x-\alpha_n)^{m_n}\] met \(a_i\neq\alpha_j\) voor \(i\neq j, 1\le i,j,\le n\) en \(m_i\in\{1,2,3,\ldots\}\) voor \(1\le i\le n\). Dan correspondeert elke macht van een factor, zeg \((x-\alpha)^m\), in de breuksplitsing van \(\frac{p(x)}{q(x)}\) met de volgende som van breuken: \[\frac{a_1}{x-\alpha}+\frac{a_2}{(x-\alpha)^2}+\cdots +\frac{a_m}{(x-\alpha)^m}\] Alle coëfficiënten kunnen berekend worden door een stelsel van lineaire vergelijkingen met onbekenden op te stellen door alle breuken in de spitsing op te tellen en de coëfficiënten van de teller gelijk te stellen aan die van \(p(x)\), en vervolgens dit stelsel vergelijkingen op te lossen.
