Basisfuncties: Rationale functies
Breuksplitsing: onvereenvoudigbare kwadratische factoren in de noemer
Niet elke kwadratische veelterm is te ontbinden in lineaire factoren als alleen reële coëfficiënten toegestaan zijn: een eenvoudig voorbeeld is de veelterm \(x^2+1\) die ene negatieve discriminant heeft. We bekijken eerst twee voorbeelden van rationale functies met een noemer die onvereenvoudigbare kwadratische factoren heeft.
Voorbeeld 1 We bekijken de rationale functie \(\frac{3}{x^3+1}\), waarvan de noemer volledig ontbonden kan worden als \((x+1)(x^2-x+1)\) (ga dit na!). Bij breuksplitsing proberen we de breuk als volgt te herschrijven \[\frac{3}{x^3+1}=\frac{\mathrm{iets}}{x+1}+ \frac{\mathrm{IETS}}{x^2-x+1}\] We moeten dus \(\mathrm{iets}\) en \(\mathrm{IETS}\) vinden zodanig dat \[\mathrm{iets}\cdot(x^2-x+1)+ \mathrm{IETS}\cdot(x+1)=3\] We kunnen hiervoor niet alleen reële getallen gebruiken. Dan maar proberen met veeltermen en redelijkerwijs kunnen we, na enig nadenken, het volgende proberen: \[a(x^2-x+1)+ (bx+c)(x+1)=3\] waarbij \(a\), \(b\) en \(c\) nog onbekende getallen zijn. Haakjes wegwerken in de rechterkant en gelijksoortige machten van \(x\) verzamelen geeft \[(a+b)x^2+(b+c-a)x+a+c=2\] Dit moet gelden voor alle \(x\) en daarom hebben we de volgende drie lineaire vergelijkingen: \[a+b=0,\quad b+c-a=0,\quad a+c=3\text.\] De oplossing van dit stelsel is \[a=1,\quad b=-1,\quad c=2\text.\] De breuksplitsing is daarom \[\frac{3}{x^3+1}=\frac{1}{x+1} + \frac{-x+2}{x^2-x+1}\text.\]
Voorbeeld 2 We bekijken de rationale functie \(\frac{4x^2+3}{9x^5+6x^3+x}\), waarvan de noemer ontbonden kan worden als \(x(3x^2+1)^2\) binnen het gebruik van reële getallen (ga dit zelf na!). Naar analogie met de methode bij herhaalde lineaire factoren proberen we de volgende breuksplitsing: \[\frac{4x^2+3}{9x^5+6x^3+x}=\frac{a}{x}+\frac{bx+c}{3x^2+1}+\frac{dx+e}{(3x^2+1)^2}\] voor getallen \(a\), \(b\), \(c\), \(d\) en \(e\). Er moet dan gelden dat \[\begin{aligned}4x^2+3 &=a(3x^2+1)^2+x(3x^2+1)(bx+c)+x(dx+e)\\[0.25cm] &=a(9x^4+6x^2+1)+x(3bx^3+3cx^2+bx+c)+ dx^2+ex\\[0.25cm]
&=(9a+3b)x^4+3cx^3+(6a+b+d)x^2+(c+e)x+a\end{aligned}\] voor alle waarden van \(x\). We krijgen dus een stelsel van 5 lineaire vergelijkingen in 5 onbekenden: \[9a+3b=0,\quad 3c=0,\quad 6a+b+d=4,\quad c+e=0,\quad a=3\text.\] De oplossing van dit stelsel is met wat puzzelwerk te vinden en gelijk aan \[a=3,\quad b=-9,\quad c=4,\quad c=0,\quad d=-5\quad e=0\text.\] De breuksplitsing is daarom \[\frac{4x^2+3}{9x^5+6x^3+x}=\frac{3}{x}-\frac{9x}{3x^2+1}-\frac{5x}{(3x^2+1)^2}\]
\(\phantom{abc}\)
Bovenstaande voorbeelden illustreren hoe breuksplitsing uitgevoerd kan worden van een rationale functie \(\frac{p(x)}{q(x)}\) met de graad van \(p(x)\) kleiner dan de graad van \(q(x)\) en waarbij de factorontbinding van \(q\) bestaat uit kwadratische factoren en lineaire factoren, mogelijk met herhalingen. Elke verschillende factor mag dus tot een zekere macht met positieve natuurlijke exponent verheven zijn in de ontbinding van de noemer. Hiermee hebben we het algemene geval van breuksplitsing van een rationale functie te pakken!
Breuksplitsing bij een noemer die ontbonden kan worden in lineaire en onvereenvoudigbare kwadratische factoren, mogelijk met herhalingen We bekijken een rationale functie \(\frac{p(x)}{q(x)}\) met de graad van \(p(x)\) kleiner dan de graad van \(q(x)\) en met \(q(x)\) een veelterm die geschreven kan worden als \(n\) verschillende lineaire factoren en \(s\) verschillende onvereenvoudigbare kwadratische factoren, zeg, \[\begin{aligned}q(x)&=(x-\alpha_1)^{n_1}\cdot (x-\alpha_2)^{m_1}\cdots(x-\alpha_n)^{m_n}\\[0.25cm]
&\phantom{=}{}\cdot(x^2+\beta_1x+\gamma_1)^{r_1}\cdot (x^2+\beta_2x+\gamma_2)^{r_2}\cdots(x^2+\beta_sx+\gamma_s)^{r_s}\end{aligned}\] \(a_i\neq\alpha_j\) met \(i\neq j, 1\le i,j\le n\) en \(m_i\in\{1,2,3,\ldots\}\) vooor \(1\le i\le n\), en met \((b_i,\gamma_i)\neq(b_j,\gamma_j)\) voor \(i\neq j, 1\le i,j,\le s\) en \(r_i\in\{1,2,3,\ldots\}\) voor \(1\le i\le s\). Dan correspondeert in de breuksplitsing van \(\frac{p(x)}{q(x)}\) elke macht van een lineaire factor, zeg \((x-\alpha)^m\), met de volgende som van breuken: \[\frac{a_1}{x-\alpha}+\frac{a_2}{(x-\alpha)^2}+\cdots +\frac{a_m}{(x-\alpha)^m}\] Elke macht van een kwadratische factor, zeg \((x^2+\beta x+\gamma)^r\), correspondeert in de breuksplitsing dan met de volgende som van breuken: \[\frac{b_1x+c_1}{x^2+\beta x+\gamma}+\frac{b_2x+c_2}{(x^2+\beta x+\gamma)^2}+\cdots +\frac{b_rx+c_r}{(x^2+\beta x+\gamma)^r}\] Alle coëfficiënten kunnen berekend worden door een stelsel van lineaire vergelijkingen met onbekenden op te stellen door alle breuken in de splitsing op te tellen en de coëfficiënten van de teller gelijk te stellen aan die van \(p(x)\), en dan dit stelsel op te lossen.
