a = 1 Het getal $a=1$ doet niet mee in de definitie van een exponentiële functie omdat $1^x=1$ voor alle $x$ en je zo'n functie eerder een constantie functie of lineaire functie zou noemen. Om formuleringen van eigenschappen van exponentiële functies te vergemakkelijken zullen we toch 1 als grondtal accepteren.

a>0 We laten zien hoe $a^x$ gedefinieerd wordt, voor positieve getallen $a$. Als $n$ een positief geheel getal is, wordt $a^n$ verkregen door $n$ kopieën van $a$ met elkaar te vermenigvuldigen. Verder laten we $a^0 = 1$ en $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$. Voor een positief geheel getal $q$, is $b \mapsto b^q$ stijgend in $b$. Voor gegeven $a$ bestaat er dus een getal $b$ waarvoor $b^q = a$. We schrijven $a^{\frac{1}{q}} = b$.
Voor gehele getallen $p$ en $q>0$, is nu $a^{\frac{p}{q}} = \left(a^{\frac{1}{q}}\right)^p$ ook gedefinieerd. Dus voor elke breuk $x = \frac{p}{q}$ is $a^{x}$ nu gedefinieerd. Voor algemene reële getallen $x$ wordt $a^x$ gedefinieerd door continuïteit; als $\frac{p}{q}$ in de buurt van $x$ ligt, dan ligt $a^x$ in de buurt van $a^{\frac{p}{q}}$.
Neem bijvoorbeeld $2^{\sqrt{3}}$. Er geldt $1.73205 < \sqrt{3} < 1.73206$. We zien

$$2^{\frac{17}{10}} < 2^{\frac{173}{100}} < 2^{\frac{1732}{1000}} < 2^{\frac{17320}{10000}} < 2^{\frac{173205}{100000}} < 2^{\sqrt{3}}$$ en ook
$$2^{\sqrt{3}} < 2^{\frac{173206}{100000}} < 2^{\frac{17321}{10000}} < 2^{\frac{1733}{1000}} < 2^{\frac{174}{100}}< 2^{\frac{18}{10}}.$$ Zo wordt $2^{\sqrt{3}}$ ingesloten door al gedefinieerde getallen van de vorm $2^{\frac{p}{q}}$ die $2^{\sqrt{3}}$ steeds beter benaderen.