Dé exponentiële functie exp(x)

Exponentiële functies en logaritmen: Exponentiële functies

Dé exponentiële functie exp(x)

Het grondtal e

Tussen het grondtal $a=2$ en het grondtal $a=3$ zit precies één grondtal, dat we met $e$ aanduiden, zodanig dat de grafiek van $f(x)=\e^x$ en de rechte lijn met vergelijking $y=x+1$ elkaar raken in het punt $(0,1)$ , d.w.z. dat de grafieken precies één punt gemeenschappelijk hebben.

De waarde van dit getal is ongeveer $2.71828$

De exacte waarde is te beschrijven als $\begin{aligned} \e&=\lim_{n\to\infty}(1+\frac{1}{n})^n\qquad\text{en als}\\ \e &=1+1+\frac{1}{2}+\frac{1}{6}+\frac{1}{24}+\frac{1}{120}+\cdots=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{1}{k!}\end{aligned}$

grafiek van de exponentiële functie

De exponentiële functie $f(x)=\e^x$ komt zo vaak voor, dat deze wel dé exponentiële functie wordt genoemd. In boeken, computerprogramma's en rekenmachines kom je ook wel de notatie $\exp(x)$ als synoniem voor $\e^x$ tegen.

Van de exponentiële functie met functievoorschrift $\e^x$ kunnen we andere exponentiële functies maken door het argument $x$ met een constante $c$ te vermenigvuldigen; we krijgen dan een functie van de volgende vorm $f(x)=e^{c\cdot x}$ Dit is een exponentiële functie met grondtal $\e^c$ ; er geldt immers $\begin{aligned}f(x)&=\e^{c\cdot x}&\\[0.25cm] &=\left(\e^c\right)^x&\\[0.25cm] &=a^x\text{,} & \text{met }a=\e^c\text{.}\end{aligned}$

Door de schuifbalk in onderstaande figuur te bewegen krijg je een idee hoe de grafiek van de exponentiële functie $f(x)=\e^{c\cdot x}$ er uit ziet voor verschillende waarden van $c$ .

De vertaling van de eerder genoemde eigenschappen van exponentiële functies voor de exponentiële functie $f(x)=e^{c\cdot x}$ is als volgt:

$f(0)=1$ .
$f(x)>0$ voor alle $x$ .
$f$ is stijgend dan en slechts dan als $c>0$ . Hoe groter $c$ , hoe sneller de functie stijgt.
$f$ is dalend dan en slechts dan als $c<0$ . Hoe negatiever $c$ , hoe sneller de functie daalt.
De horizontale as treedt voor elke exponentiële functie op als horizontale asymptoot.
Voor $c<0$ geldt: $\e^{c\cdot x}\to 0$ als $x\to \infty$ .
Voor $c>0$ geldt: $\e^{c\cdot x}\to 0$ als $x\to -\infty$ .

Ter illustratie geven we nog een dynamisch voorbeeld van vereenvoudigingen met $e$ -machten:

Vereenvoudig de uitdrukking $\displaystyle \frac{6 \e^{2 x}}{\left(\e^{2 x}\right)^{3}}$ tot de vorm $b\cdot \e^{c\cdot x}$ .

$\begin{aligned} \frac{6 \e^{2 x}}{\left(\e^{2 x}\right)^{3}}&= \frac{6\cdot \e^{2\cdot x}}{\left(\e^{2\cdot x}\right)^{3}} \\ &\phantom{abcxyz} \blue{\text{vermenigvuldigingen in exponenten expliciet opgeschreven}}\\ &= \frac{6\cdot \e^{2\cdot x}}{\e^{3\cdot 2\cdot x}} \\ &\phantom{abcxyz} \blue{\text{rekenregel }\left(\e^b\right)^a=\e^{a\cdot b}\text{ met }a=3,\; b=2\cdot x\text{ toegepast}}\\ &= \frac{6\cdot \e^{2\cdot x}}{\e^{6\cdot x}} \\ &\phantom{abcxyz} \blue{\text{de noemer vereenvoudigd}}\\ &= 6\cdot \e^{2\cdot x}\cdot \e^{-6\cdot x}\\ &\phantom{abcxyz} \blue{\text{de rekenregel}\frac{1}{\e^a}=\e^{-a}\text{ met } a=6\cdot x\text{ toegepast}}\\ &= 6\cdot \e^{2\cdot x-6\cdot x}\\ &\phantom{abcxyz} \blue{\text{productregel voor machten toegepast}}\\ &=6\cdot \e^{-4\cdot x} \\ &\phantom{abcxyz} \blue{\text{de exponent vereenvoudigd}}\end{aligned}$ Een kortere route krijg je bij herkenning van een gemeenschappelijke deeluitdrukking $\e^{2 x}$ in teller en noemer, die weggedeeld kan worden: $\begin{aligned} \frac{6 \e^{2 x}}{\left(\e^{2 x}\right)^{3}} &= \frac{6}{\left(\e^{2\cdot x}\right)^{2}}\\ &\phantom{abcxyz} \blue{\text{quotiëntregel voor machten toegepast}}\\ &= \frac{6}{\e^{2\cdot 2\cdot x}}\\ &\phantom{abcxyz} \blue{\text{rekenregel voor machten in noemer toegepast}}\\ &= \frac{6}{\e^{4\cdot x}} \\ &\phantom{abcxyz} \blue{\text{de noemer vereenvoudigd}} \\ &=6 \e^{-4 x}\\ &\phantom{abcxyz} \blue{\text{als }\e\text{-macht herschreven}}\end{aligned}$

Nieuw voorbeeld