Exponentiële functies en logaritmen: Exponentiële functies
Sommen van exponentiële functies
We bekijken hoe sommen van exponentiële functies van de vorm \[f(x)=a\cdot g^x+b\cdot h^x, \quad \text{met }g\neq h\] zich gedragen voor grote waarden van \(x\).
In onderstaand diagram de grafieken van \(\left(\tfrac{2}{5}\right)^x-\left(\tfrac{1}{5}\right)^x\), \(\left(\tfrac{2}{5}\right)^x\) en \(\left(\tfrac{2}{5}\right)^x\) getekend op het interval \([0,4]\).
Door de grafieken onderling te vergelijken zien we dat de grafiek van \(\left(\tfrac{2}{5}\right)^x-\left(\tfrac{1}{5}\right)^x\) voor grote waarden van \(x\) lijkt op de grafiek van \(\left(\tfrac{2}{5}\right)^x\).
Met andere woorden, de functie \(x\mapsto\left(\tfrac{2}{5}\right)^x-\left(\tfrac{1}{5}\right)^x\) lijkt voor grote waarden van \(x\) op de functie \(x\mapsto \left(\tfrac{2}{5}\right)^x\).
Dit is ook in te zien door een van de exponentiële functies als factor naar buiten te halen.
Uit \(\left(\tfrac{2}{5}\right)^x-\left(\tfrac{1}{5}\right)^x=\left(\tfrac{2}{5}\right)^x\cdot \left(1-\left(\tfrac{1}{2}\right)^x\right)\) volgt dat voor grote \(x\) de uitdrukking\(1-\left(\tfrac{1}{2}\right)^x\) tussen de haakjes dicht bij \(1\) ligt. Dan lijkt de functie dus op \(x\mapsto \left(\tfrac{2}{5}\right)^x\).
In een som van twee of meer exponentiële functies lijkt de functie voor grote waarden van \(x\) op de term met het grootste grondtal.