Exponentiële functies en logaritmen: Logaritmen
Toepassingen van ln
Net als zijn tegenhanger, de exponentiële functie, kom je de natuurlijke logaritme in heel veel toepassingen van wiskunde in levenswetenschappen tegen, al was het maar omdat je een exponentiële verband wilt oplossen. Exponentiële verbanden worden door gebruik te maken van de natuurlijke logaritme vaak omgezet naar lineaire verbanden tussen gerelateerde grootheden. Als voorbeeld noemen we hier de Arrhenius vergelijking.
Arrhenius vergelijking De Arrhenius vergelijking \[k=A e^{\frac{E_a}{RT}}\] kan m.b.v. de natuurlijke logaritme herschreven worden als \[\ln(k)=\frac{E_a}{R}\cdot \frac{1}{T}+\ln(A)\] Wat men hiermee bereikt heeft is een lineair verband tussen de natuurlijke logaritme van de reactiesnelheidsconstante \(k\) en de reciproke waarde van de temperatuur \(T\), waarbij de parameters afhangen van de activeringsenergie \(E_a\), de molaire gasconstante \(R\) en de constante \(A\).
Een tweede voorbeeld van toepassing van de natuurlijke logaritme komt uit de elektrochemie, maar we bespreken dit in de context van celbiologie.
Nernst vergelijking In een situatie waarin een celmembraan slechts doorgankelijk is voor één ionsoort, zal zich een elektrisch potentiaalverschil tussen beide zijden van het membraan ontwikkelen dat volledig in evenwicht is (d.w.z. gelijk en tegengesteld) met de concentratiegradiënt. De hoogte van de potentiaal is afhankelijk van de ionconcentraties aan weerszijden van het membraan, van de lading per ion (waardigheid) en van de temperatuur \(T\) volgens de Nernst vergelijking voor de berekening van de evenwichtspotentiaal \[E_\mathrm{ion}=\frac{RT}{zF}\cdot \ln\left(\frac{[C]_e}{[C]_i}\right)\] waarbij \(R\) de molaire gasconstante is, \(T\) de absolute temperatuur is, \(z\) de lading van het ion is, \(F\) de constante van Faraday, en \([C]_e\) resp. \([C]_i\) de extracellulaire resp. intracellulaire concentratie is. In levende cellen is de potentiaal aan de binnenkant van de cel negatief ten opzichte van die aan de buitenkant voor kationen. Het potentiaalverschil in een zenuwcel van een inktvis bedraagt bij een temperatuur van 37 graden Celsius voor het kaliumion ongeveer 75 mV.
De Nernst vergelijking kan ook anders opgeschreven worden op basis van rekenregels voor de natuurlijke logaritme. Uit \(\ln(1/x)=-\ln(x)\) volgt: \[E_\mathrm{ion}=-\frac{RT}{zF}\cdot \ln\left(\frac{[C]_i}{[C]_e}\right)\]
De derde context is de psychofysica.
Weber-Fechner wet De Weber-Fechner wet formuleert een algemene regel voor het verband tussen de sterkte van fysische impulsen op de menselijke zintuigen (prikkels) en de intensiteit van de daarbij horende gewaarwordingen. De wet schrijft voor dat wanneer fysische impulsen toenemen met constante verhoudingen, de gewaarwordingen dan toenemen met constante verschillen.
In wiskundetaal: als een stimulus \(S\) volgens een meetkundige rij varieert \[S=1,a,a^2, a^3, \ldots\] dan verandert de perceptie \(P\) hiervan als in een rekenkundige rij \[P=p,p+b, p+2b, p+3b, \ldots\] Nog formeler kan het verband in termen van een logartime opgeschreven worden: \[P=k\cdot\ln\left(\frac{S}{S_0}\right)\] waarbij \(S_0\) de drempelwaarde van de stimulus is waaronder geen gewaarwording plaats heeft.
