Exponentiële functies en logaritmen: Logaritmen
Logaritmische functies
Als \(x\) een positief reëel getal is, dan wordt bij \(g>0,\;g\neq 1\) de logaritme \(\log_g(x)\) met grondtal \(g\) gedefinieerd als het reële getal \(y\) waarvoor geldt dat \(g^y=x\). Dus: \[\log_g(x)=y\iff g^y=x\] Met andere woorden: \(\log_g(x)\) is de macht waartoe je \(g\) moet verheffen om \(x\) te krijgen.
De vergelijking \(10^y=2\) heeft dus als oplossing \(y=\log_{10}(2)\approx 0.301\).
Voorbeelden
\[\begin{aligned} \log_2(8)&=3&\blue{\text{want }2^3=8}\\[0.25cm]\log_3(3)&=1&\blue{\text{want }3^1=3}\\[0.25cm]\log_4(\tfrac{1}{16})&=-2&\blue{\text{want }4^{-2}=\tfrac{1}{16}}\\[0.25cm]\log_5(\sqrt{5})&=\tfrac{1}{2}&\blue{\text{want }5^{\frac{1}{2}}=\sqrt{5}}\end{aligned}\]
Voor \(g>0,\, g\neq 1\) geldt: \[\begin{aligned} g^{\log_g(x)}&=x\quad\blue{\text{als }x>0}\\[0.25cm] \log_g(g^x)&=x\end{aligned}\]
Voorbeelden
\[\begin{aligned} 2^{\log_2(3)}&=3\\[0.25cm] 2^{\log_2(4)}&=4\\[0.25cm] \log_2(1)&=\log_2(2^0)=0\end{aligned}\]
De logaritmische functie met grondtal \(g>0,\, g\neq 1\) is gedefinieerd als functie \(f(x)=\log_g(x)\) voor positieve reële getallen.
De logaritmische vergelijking \(\log_g(x)=c\) heeft als oplossing \(x=g^c\). Immers: \(\log_g(g^c)=c\).
Notatie In plaats van \(\log_g(x)\) wordt ook wel (in Nederlandse schoolboeken) de notatie \({}^g\!\log(x)\) gebruikt.
Deze notatie is minder handig omdat het kan leiden tot misverstanden zoals bijvoorbeeld de interpretatie van \(x{}^2\!\log(x)\) als \(x\cdot {}^2\!\log(x)\) of \(x^2\cdot\log(x)\).
Verder geldt: \(\ln(x)= \log_e(x)\). Wiskundigen schrijven ook vaak \(\log\) in plaats van \(\log_e\) of \(\ln\). In de natuurwetenschappen wordt daarentegen \(\log\) meestal gebruikt als afkorting voor \(\log_{10}\). SOWISO reserveert \(\log\) ook voor de logaritme met grondtal 10. Kortom, als je \(\log\) ziet staan in een formule, dan is het raadzaam je te realiseren welk grondtal gebruikt wordt door de auteur.
Grafieken van logaritmen
De grafiek van deze logaritmische functie kun je verkrijgen door de grafiek van de exponentiële functie \(f(x)=g^x\) in de lijn \(y=x\) te spiegelen want deze functies zijn elkaars inverse, d.w.z. \[g^{\log_g(x)}=\log_g(g^x)=x\]
In onderstaande figuur zijn de grafieken van enkele logaritmische functies getekend (om het grondtal te accentueren hebben we de notatie \({}^g\!\log(x)\) gebruikt).
Interactieve visualisatie Door de schuifbalk in onderstaande interactieve visualisatie te verslepen krijg je een idee hoe de grafiek van de logaritmische functie \[f(x)=\log_g(x)\] er uit ziet voor verschillende waarden van het grondtal \(g\).
Eigenschappen Enkele eigenschappen van een logaritmische functie \(f(x)=\log_g(x)\):
- \(f(1)=0\) (elke grafiek van een logaritmische functie gaat door het punt (1,0)).
- \(f(x)>0\) voor alle \(x>1\) in het geval dat \(g>1\). Bovenstaande grafieken illustreren soortgelijke beweringen.
- \(f\) is stijgend dan en slechts dan als \(g>1\). Hoe groter \(g\), hoe minder snel de functie stijgt.
- \(f\) is dalend dan en slechts dan als \(0<g<1\). Hoe dichter \(g\) bij 1 ligt, hoe sneller de functie daalt.
- De verticale as treedt voor elke logaritmische functie op als verticale asymptoot. Als \(0<g<1\), dan zijn functiewaarden \(\log_g(x)\) voor kleine positieve \(x\) groot (in wiskundetaal: \(\log_g(x)\to \infty\) als \(x\downarrow 0\), of nog formeler \(\lim_{x\downarrow 0}\log_g(x)=\infty\)). Als \(g>1\), dan \(\lim_{x\downarrow 0}\log_g(x)=-\infty\).
- De functie \(x\mapsto x\) 'groeit harder' dan elk veelvoud van een logaritmische functie. In wiskundige terminologie: voor een grondtal \(g>1\) en een natuurlijk getal \(n\) bestaat er een getal \(N\) zodanig dat \(x>n\log_g(x)\) voor alle \(x>N\).
Logaritmische functies worden intensief gebruikt bij wiskundige modellen van groeien, meer algemeen, bij wiskundige modellen van veranderingsprocessen, zoals bijvoorbeeld radioactief verval of het concentratieverloop van een farmacon in een lichaam. Ook worden ze gebruikt bij berekeningen van membraanpotentialen.
Mathcentre videos
Logarithms (34:49)
#\phantom{x}#
Logarithmic Functions (25:48)
