Rekenregels voor logaritmische functies

Exponentiële functies en logaritmen: Logaritmen

Rekenregels voor logaritmische functies

De rekenregels voor de natuurlijke logaritme, die we eerder tegengekomen zijn, gelden voor logaritmische functies met elk grondtal. Uit de eigenschappen van exponentiële functies kunnen ze worden afgeleid. Voor alle positieve reële getallen $x$ en $y$ , voor alle grondtallen $g$ en $h$ , en voor elk rationaal getal $r$ geldt:

$\begin{aligned} \log_g(x\cdot y) &= \log_g(x)+\log_g(y)\\ \\ \log_g\!\left(\frac{x}{y}\right) &=\log_g(x)-\log_g(y) \\ \\ \log_g(x^r) &= r\cdot \log_g(x) \\ \\ \log_g(x) &=\frac{\log_h(x)}{\log_h(g)} \end{aligned}$

Met de laatste formule kun je logaritmen met grondtal $g$ omzetten in logaritmen met een ander grondtal. Bijvoorbeeld:

$\log_{10}(x) =\frac{\log_e(x)}{\log_e(10)}=\frac{\ln(x)}{\ln(10)}$

Ter illustratie van de rekenregels geven we een voorbeeld van consequent toepassen van de regels om een herleiding tot een goed einde te brengen.

Gegeven is het verband $\log_{10}(y)= 3-\frac{3}{2}\cdot \log_{10}(x)$ .
Druk $y$ uit als functie van $x$ en vereenvoudig zodanig dat er geen logaritme meer voor komt.

Voor het gemak gebruiken we $\log$ i.p.v. $\log_{10}$ , d.w.z. als notatie voor de logaritme met grondtal 10.
We schrijven eerst het rechterlid van de gegeven formule als een logaritme met grondtal 10:

$\begin{aligned} 3-\frac{3}{2}\cdot\log(x) &= \log(10^{3})+ \log(x^{-\frac{3}{2}})\\ &=\log(10^{3}\cdot x^{-\frac{3}{2}})\end{aligned}$ Dus:

$\log(y)= \log(10^{3}\cdot x^{-\frac{3}{2}})\tiny.$ Hieruit volgt:

$\begin{aligned}y&=10^{3}\cdot x^{-\frac{3}{2}} \\&=1000\cdot \frac{1}{x\sqrt{x}}\end{aligned}$

Nieuw voorbeeld