Exponentiële functies en logaritmen: Logaritmen
Toepassingen van de logaritme met grondtal 10
Net als zijn tegenhanger, een exponentiële functie, kom je de logaritmische functie in heel veel toepassingen van wiskunde in levenswetenschappen tegen, al was het maar omdat je een exponentiële verband wilt oplossen. Het gaat dan bijna altijd om functies met grondtal 10. Als eerste twee voorbeelden kiezen we een scheikundige context: zuurtegraad en de wet van Lambert-Beer.
pH als maat voor zuurgraadEen maat voor zuurgraad van een waterige oplossing is de concentratie \(\bigl[\mathrm{H}_3\mathrm{O}^{+}\bigr]\) in mol/L, maar dit is niet echt handig omdat je dan steeds met kleine waarden aan het werken bent. Om deze reden is de pH als maat voor zuurgraad ingevoerd: \[\mathrm{pH} = -\log_{10}\biggl(\bigl[\mathrm{H}_3\mathrm{O}^{+}\bigr]\biggr)\] Als bijvoorbeeld \(\bigl[\mathrm{H}_3\mathrm{O}^{+}\bigr]=10^{-7}\mathrm{mol/L}\), dan is de pH-waarde gelijk aan \(\mathrm{pH}=-\log_{10}\bigl(10^{-7}\bigr)=7\cdot\log_{10}(10) = 7\) en is er sprake van een neutrale waterige oplossing. Zure oplossingen hebben een pH kleiner dan 7, basische oplossingen een pH groter dan 7. De pH van een oplossing neemt dus met 1 af als de concentratie \(\bigl[\mathrm{H}_3\mathrm{O}^{+}\bigr]\) vertienvoudigd. Uit de pH waarde kan de concentratie \(\bigl[\mathrm{H}_3\mathrm{O}^{+}\bigr]\) teruggerekend worden: \[\bigl[\mathrm{H}_3\mathrm{O}^{+}\bigr]=10^{-\mathrm{pH}}\] Om het werken met negatieve exponenten in wetenschappelijke notatie te vermijden worden zuurconstante \(K_z\) en baseconstante \(K_b\) vervangen door hun tegengestelde logaritme: \[\mathrm{p}K_z = -\log_{10}(K_z), \quad \mathrm{p}K_b = - \log_{10}(K_b)\]
De wet van Lambert-Beer Een aantal observaties ligt ten grondslag aan dit voorbeeld.
- een sterkere oplossing van een gekleurde stof ziet er donkerder uit dan een zwakkere oplossing van deze stof.
- een dunne laag van een gekleurde oplossing is fletser dan een dikke laag van dezelfde oplossing.
- verschillende stoffen geven verschillende kleuren.
Deze observaties kunnen gekwantificeerd worden in een spectrofotometer. Sommige chemische stoffen hebben de eigenschap dat zij licht van een bepaalde golflengte van het spectrum absorberen. De concentratie van zo'n stof in een mengsel kan bepaald worden door de absorbantie, ook wel extinctie genaamd, te onderzoeken van monochromatisch licht van een juiste golflengte. De extinctie \(E\) wordt gedefinieerd in de volgende relatie als \[E=\log_{10}\left(\frac{I_0}{I}\right)\] waarbij \(I_0\) de oorspronkelijke hoeveelheid licht is en \(I\) de hoeveelheid licht die doorgelaten is door het monster. De wet van Lambert-Beer stelt dat de extinctie recht evenredig is met de concentratie van de licht-absorberende stof: \[E=\varepsilon\cdot C\cdot l\] waarbij \(\varepsilon\) de molaire extinctiecoeëfficiënt is, \(C\) de concentratie van de stof is en \(l\) de weglengte van de cuvette is.
Een bekend voorbeeld van gebruik van logaritme komt uit de seismologie: de momentmagnitudeschaal.
Momentmagnitudeschaal voor aaardbevingen De schaal van Richter is een bekende maat voor de kracht van een aardbeving. Seismologen gebruiken evenwel de later gedefinieerde momentmagnitudeschaal. Deze schaal geeft de sterkte van een aardbeving als een getal \(n\) dat berekend kan worden met de formule \[n=\frac{2}{3}\cdot\log_{10}(M)-6\] waarbij \(M\) het seismisch moment is, dat recht evenredig is met de uitgestraalde energie van de aardbeving.
Een grote toepassing van logaritme is de verhouding tussen grootheden op een logaritmische schaal.
decibel als maat voor geluidsniveau Het geluidsniveau \(L\) wordt bijvoorbeeld gedefinieerd als de logaritmische verhouding van de absolute waarde van de geluidsintensiteit \(J\) en een referentiewaarde \(J_0\) en aldus uitgedrukt in decibel (dB): \[L=10\cdot \log_{10}\left(\frac{J}{J_0}\right)\]
Het laatste voorbeeld van toepassing van de logaritme is het herschrijven van de Nernst vergelijking in de context van celbiologie. In de derde sectie van dit hoofdstuk over bio-elektriciteit behandelen we dit in meer detail.
Nernst vergelijking In een situatie waarin een celmembraan slechts doorgankelijk is voor één ionsoort, zal zich een elektrisch potentiaalverschil tussen beide zijden van het membraan ontwikkelen dat volledig in evenwicht is (= gelijk en tegengesteld) met de concentratiegradiënt. De hoogte van de potentiaal is afhankelijk van de ionconcentraties aan weerszijden van het membraan, van de lading per ion (waardigheid) en van de temperatuur \(T\) volgens de Nernst vergelijking voor de berekening van de evenwichtspotentiaal \[E_\mathrm{ion}=\frac{RT}{zF}\cdot \ln\left(\frac{[C]_e}{[C]_i}\right)\] waarbij \(R\) de molaire gasconstante is, \(T\) de absolute temperatuur is, \(z\) de valentie van het ion is, \(F\) de constante van Faraday, en \([C]_e\) resp. \([C]_i\) de extracellulaire resp. intracellulaire concentratie is. In levende cellen is de potentiaal aan de binnenkant van de cel negatief ten opzichte van die aan de buitenkant voor kationen. Het potentiaalverschil in een zenuwcel van een inktvis bedraagt bij een temperatuur van 37 graden Celsius voor het kaliumion ongeveer 75 mV.
Deze vergelijking kom je regelmatig tegen met \(\log_{10}\) i.p.v de natuurlijke logaritme \(\ln\); de vergelijking wordt dan
\[\begin{aligned}E_\mathrm{ion}& =\frac{RT}{zF}\cdot \ln\left(\frac{[C]_e}{[C]_i}\right)\\ \\ &= \ln(10)\cdot \frac{RT}{zF}\cdot \log_{10}\left(\frac{[C]_e}{[C]_i}\right) \\ \\ &\approx 2.303 \cdot \frac{RT}{zF}\cdot \log_{10}\left(\frac{[C]_e}{[C]_i}\right) \\ \\ &\approx 59.1 \cdot \log_{10}\left(\frac{[C]_e}{[C]_i}\right)\quad\text{(in mV) voor een eenwaardig kation bij 298 K}\end{aligned}\]
