Hyperbolische functies en hun inversen

Exponentiële functies en logaritmen: Exponentiële functies

Hyperbolische functies en hun inversen

Sommige combinaties van $e$ -machten komen zo vaak voor, dat ze een speciale naam hebben gekregen. Het zijn de hyperbolische functies.

$\begin{aligned} \sinh(x) &= \frac{\e^x-\e^{-x}}{2} \\[0.25cm] \cosh(x) &= \frac{\e^x+\e^{-x}}{2} \\[0.25cm] \tanh(x) &= \frac{\sinh(x)}{\cosh(x)} = \frac{\e^x-\e^{-x}}{\e^x+\e^{-x}} \end{aligned}$ Uit de definities volgt gelijk dat $\sinh$ een oneven functie is, $\cosh$ een even functie is, en dat $\tanh$ een oneven functie is. De grafieken van $\sinh$ en $\cosh$ zijn snel te schetsen als de grafiek van de som of verschil van twee exponentiële functies. Uit de definities van $\sinh$ en $\cosh$ volgt ook dat de grafieken van deze functies voor grote waarden van $x$ elkaar naderen.

grafiek van sinh

GeoGebra

grafiek van cosh

GeoGebra

De grafiek van $\tanh$ is minder gemakkelijk te schetsen op basis van de grafieken van exponentiële functies en wordt hieronder getoond.

GeoGebra

Bovenstaande grafieken illustreren ook het domein en bereik van de hyperbolische functies: ze zijn gedefinieerd voor alle reële getallen en het bereik van $\sinh$ , $\cosh$ en $\tanh$ is achtereenvolgens $(\infty,\infty)$ , $[1,\infty)$ en $(-1,1)$ .

Uitspraak Je spreekt de functienamen uit als ''sinus hyperbolicus'' en "cosinus hyperbolicus" en "tangens hyperbolicus".

De naamgeving "hyperbolische functies" suggereert dat deze te maken hebben met een hyperbool. Ook doen de namen en notaties van de functies denken aan de goniometrische functies $\sin$ , $\cos$ en $\tan$ . Er is inderdaad een sterke analogie: zoals de $(x,y)$ -coördinaten van een punt op de eenheidscirkel met vergelijking $x^2+y^2=1$ te schrijven zijn als $\bigl(\cos(t), \sin(t)\bigr)$ , zijn de $(x,y)$ -coördinaten van een punt op de hyperbool met vergelijking $x^2-y^2=1$ te schrijven zijn als $\bigl(\cosh(t), \sinh(t)\bigr)$ . Maar de grote verwantschap is nog meer van algebraïsche aard, zoals uit de bijzondere formules voor hyperbolische functies duidelijk wordt.

Toepassing De cosinushyperbolicus is de functie die gebruikt wordt om de vorm van een uniforme ketting hangend onder invloed van zwaartekracht wiskundig te beschrijven.

Basiseigenschappen, somformules en verdubbelingsformules Enkele eigenschappen van de goniometrische functies volgen bijna rechtstreeks uit de definities.

Basisidentiteit $\cosh^2(x) - \sinh^2(x)=1$

Bewijs $\begin{aligned} \cosh^2(x)&= \left(\frac{\e^x+\e^{-x}}{2}\right)^2 & \blue{\text{definitie van hyperbolische functie}}\\[0.25cm] &=\frac{1}{4}\left((\e^x)^2+2\cdot \e^x\cdot \e^{-x }+(\e^{-x})^2\right) &\blue{\text{uitwerking van bijzonder product}}\\[0.25cm] &= \frac{1}{4}\left(\e^{2x}+2\cdot \e^{x-x} +\e^{-2x}\right)& \blue{\text{rekenregels van exponentiële functies}} \\[0.25cm] &= \frac{1}{4}\left(\e^{2x}+2 +\e^{-2x}\right) & \blue{\text{vereenvoudiging}}\end{aligned}$ $\begin{aligned} \sinh^2(x)&= \left(\frac{\e^x-\e^{-x}}{2}\right)^2 & \blue{\text{definitie van hyperbolische functie}}\\[0.25cm] &=\frac{1}{4}\left((\e^x)^2-2\cdot \e^x\cdot \e^{-x }+(\e^{-x})^2\right) &\blue{\text{uitwerking als bijzonder product}}\\[0.25cm] &= \frac{1}{4}\left(\e^{2x}-2\cdot \e^{x-x} +\e^{-2x}\right)& \blue{\text{rekenregels van exponentiële functies}} \\[0.25cm] &= \frac{1}{4}\left(\e^{2x}-2 +\e^{-2x}\right) & \blue{\text{vereenvoudiging}}\end{aligned}$ Door het verschil van bovenstaande vergelijkingen te nemen kom je uit op de te bewijzen identiteit.

Somformules $\begin{aligned}\sinh(x+y)&=\sinh(x)\cosh(y)+\cosh(x)\sinh(y)\\[0.25cm] \cosh(x+y)&=\cosh(x)\cosh(y)+\sinh(x)\sinh(y)\\[0.25cm] \tanh(x+y)&=\frac{\tanh(x)+\tanh(y)}{1+\tanh(x)\tanh(y)}\end{aligned}$

Bewijs $\begin{aligned}\sinh(x)\cosh(y) &= \left(\frac{\e^{x}-\e^{-x}}{2}\right)\left(\frac{\e^{y}+\e^{-y}}{2}\right) & \blue{\text{definitie}}\\[0.25cm] &=\frac{1}{4}\left(\e^x\e^y+\e^x\e^{-y }-\e^{-x}\e^y-\e^{-x}\e^{-y}\right) &\blue{\text{wegwerking van haakjes}}\\[0.25cm] &= \frac{1}{4}\left(\e^{x+y} + \e^{x-y} -\e^{y-x}- \e^{-x-y}\right)& \blue{\text{rekenregels van exponentiële functies}}\end{aligned}$ $\begin{aligned}\cosh(x)\sinh(y) &= \left(\frac{\e^{x}+\e^{-x}}{2}\right)\left(\frac{\e^{y}-\e^{-y}}{2}\right) & \blue{\text{definitie}}\\[0.25cm] &=\frac{1}{4}\left(\e^x\e^y-\e^x\e^{-y }+\e^{-x}\e^y-\e^{-x}\e^{-y}\right) &\blue{\text{wegwerking van haakjes}}\\[0.25cm] &= \frac{1}{4}\left(\e^{x+y} - \e^{x-y} +\e^{y-x}- \e^{-x-y}\right)& \blue{\text{rekenregels van exponentiële functies}}\end{aligned}$ Door de som van bovenstaande vergelijkingen te nemen kom je uit op $\begin{aligned}\sinh(x)\cosh(y)+\cosh(x)\sinh(y) &= \frac{\e^{x+y}-\e^{-(x+y)}}{2}\\[0.25cm] &=\sinh(x+y)\end{aligned}$

$\begin{aligned}\cosh(x)\cosh(y) &= \left(\frac{\e^{x}+\e^{-x}}{2}\right)\left(\frac{\e^{y}+\e^{-y}}{2}\right) & \blue{\text{definitie}}\\[0.25cm] &=\frac{1}{4}\left(\e^x\e^y+\e^x\e^{-y }+\e^{-x}\e^y-\e^{-x}\e^{-y}\right) &\blue{\text{wegwerking van haakjes}}\\[0.25cm] &= \frac{1}{4}\left(\e^{x+y} + \e^{x-y} +\e^{y-x}+ \e^{-x-y}\right)& \blue{\text{regels van exponentiële functies}}\end{aligned}$ $\begin{aligned}\sinh(x)\sinh(y) &= \left(\frac{\e^{x}-\e^{-x}}{2}\right)\left(\frac{\e^{y}-\e^{-y}}{2}\right) & \blue{\text{definitie van hyperbolische functies}}\\[0.25cm] &=\frac{1}{4}\left(\e^x\e^y-\e^x\e^{-y }-\e^{-x}\e^y+\e^{-x}\e^{-y}\right) &\blue{\text{wegwerking van haakjes}}\\[0.25cm] &= \frac{1}{4}\left(\e^{x+y} - \e^{x-y} -\e^{y-x}+ \e^{-x-y}\right)& \blue{\text{rekenregels van exponentiële functies}}\end{aligned}$ Door de som van bovenstaande vergelijkingen te nemen kom je uit op $\begin{aligned}\cosh(x)\cosh(y)+\sinh(x)\sinh(y) &= \frac{\e^{x+y}+\e^{-(x+y)}}{2}\\[0.25cm] &=\cosh(x+y)\end{aligned}$

$\begin{aligned} \tanh(x+y) &= \frac{\sinh(x+y)}{\cosh(x+y)} & \blue{\text{definitie van hyperbolische functies}}\\[0.25cm] &= \frac{\sinh(x)\cosh(y)+\cosh(x)\sinh(y)}{\cosh(x)\cosh(y)+\sinh(x)\sinh(y)} & \blue{\text{somformule}}\\[0.25cm] &= \frac{\dfrac{\sinh(x)}{\cosh(x)}+\dfrac{\sinh(y)}{\cosh(y)}}{1+\dfrac{\sinh(x)}{\cosh(x)}\dfrac{\sinh(y)}{\cosh(y)}} & \blue{\text{deling door }\cosh(x)\cosh(y)}\\[0.25cm]&= \frac{\tanh(x)+\tanh(y)}{1+\tanh(x)\tanh(y)} & \blue{\text{definitie van hyperbolische functies}}\end{aligned}$

Verdubbelingsformule $\begin{aligned}\sinh(2x) &=2\sinh(x)\cosh(x)\\[0.25cm] \cosh(2x) &=\cosh^2(x)+\sinh^2(x) \\[0.25cm] &=2\cosh^2(x)-1 \\[0.25cm] &=2\sinh^2(x)+1\\[0.25cm] \tanh(2x)&=\frac{2\tanh(x)}{1+\tanh^2(x)}\end{aligned}$

Bewijs Dit zijn speciale gevallen van de somformules.

Uitgedrukt in de natuurlijke logaritme worden de inverse hyperbolische functies als volgt gedefinieerd: $\begin{aligned} \mathrm{arsinh}(x) &= \ln\left(x+\sqrt{x^2+1}\right) \\[0.25cm] \mathrm{arcosh}(x) &= \ln\left(x+\sqrt{x^2-1}\right) \\[0.25cm] \mathrm{artanh}(x) &= \frac{1}{2}\ln\left(\frac{1+x}{1-x}\right)\end{aligned}$ Het domein van $\mathrm{arsinh}$ , $\mathrm{arcosh}$ en $\mathrm{artanh}$ is respectievelijk $\mathbb{R}$ , $[1,\infty)$ en $(-1,1)$ . De grafieken van de inverse hyperbolische functies worden hieronder getoond. Ze ontstaan uit spiegeling van de grafieken van hyperbolische functies in de lijn met vergelijking $y=x$ . Dit is te zien in de diagrammen omdat ook de grafiek van de bijpassende hyperbolische functie als stippellijn getoond wordt.

grafiek van arsinh

GeoGebra

grafiek van arcosh

GeoGebra

grafiek van artanh

GeoGebra

De naamgeving beginnend met $\mathrm{ar}$ bij $\mathrm{arsinh}$ geeft aan dat we te maken hebben met oppervlakte (area = oppervlakte in de Engelse taal): $\mathrm{arsinh}(y)$ is gelijk aan de oppervlakte van het gebied ingesloten door de hyperbool met vergelijkingen $x^2-y^2=1$ en de twee halflijnen door de oorsprong en de punten op de hyperbool met verticale coördinaten $\pm y$ . Onderstaand interactief diagram illustreert dat het gearceerde gebied een oppervlakte gelijk aan $\mathrm{arsinh}(y)$ heeft. Net zo geldt dat $\mathrm{arcosh}(y)$ gelijk is aan de oppervlakte van het gebied ingesloten door de hyperbool met vergelijkingen $x^2-y^2=1$ en de twee halflijnen door de oorsprong en de punten op de hyperbool met horizontale coördinaat $x$ .

GeoGebra

Als voorbeeld bewijzen we dat $\mathrm{arsinh}(x)=\ln\left(x+\sqrt{x^2+1}\right)$ Stel $x=\sinh(y)$ , oftewel $y=\mathrm{arsinh}(x)$ , dan volgt uit $\cosh^2(y)-\sinh^2(y)=1$ en het feit dat $\cosh(y)>0$ voor alle $y$ dat $\cosh(y)=\sqrt{x^2+1}$ Dus met de definities van $\sinh$ en $\cosh$ in termen van exponentiéle functies krijgen we dan: $\begin{aligned}\ln\left(x+\sqrt{x^2+1}\right)&=\ln\bigl(\sinh(y)+\cosh(y)\bigl) \\[0.25cm] &= \ln\left(e^y\right) \\[0.25cm] &= y \\[0.25cm] &= \mathrm{arsinh}(x)\end{aligned}$

Ook al is de naamgeving met ar-prefix in wiskundige zin het meest betekenisvol, wordt toch vaak de pre-fix arc gebruikt (dus, $\mathrm{arcsinh}$ , $\mathrm{arccosh}$ en $\mathrm{arctanh}$ ) naar analogie met de inverse goniometrische functies. In programmeertalen zijn de namen $\mathrm{asinh}$ , $\mathrm{acosh}$ en $\mathrm{atanh}$ populair.