Exponentiële functies en logaritmen: Exponentiële functies
Transformaties van exponentiële functies
Transformatie van de exponentiële functie Door horizontale en verticale verschuiving, en door horizontale en verticale schaling van de grafiek van de exponentiële functie \(f(x)=\e^x\) kan de grafiek gemaakt worden van de functie \[g(x)=a\cdot \e^{b(x+c)} + d\quad\text{met parameters }a,b,c,d\text.\] Zo kan een willekeurig uitgebreid exponentieel verband \(y=a\cdot g^{x+c}\) met grondtal \(g=\e^b\) gemaakt worden.
Ter illustratie bekijken we de horizontale en verticale verschuiving alsmede de horizontale en verticale schaling van de grafiek van de exponentiële functie \(f(x)=\e^x\).
\(\phantom{x}\)
Verticale verschuiving
We verschuiven de grafiek van \(f(x)=\e^x\) verticaal omhoog met \(\blue{d}\).
De nieuwe functie wordt \[g(x)=\e^x+\blue{d}\] De asymptoot van \(g\) wordt de lijn \(y=\blue{d}\). Het bereik van \(g\) wordt gelijk aan \((\blue{d},\infty)\).
\(\phantom{x}\)
Horizontale verschuiving
We verschuiven de grafiek van \(f(x)=\e^x\) horizontaal naar links met \(\blue{c}\).
De nieuwe functie wordt \[g(x)=\e^{x+\blue{c}}\] De asymptoot van \(g\) is dezelfde als van de exponentiële functie, nl. de lijn \(y=0\). Ook is het bereik van \(g\) gelijk aan het bereik van de exponentiële functie, nl. \((0,\infty)\).
In feite is dit vanwege de rekenregels voor exponentiële functies niets anders dan een verticale schaling met \(e^c\).
\(\phantom{x}\)
Verticale schaling
We vermenigvuldigen de grafiek van \(f(x)=\e^x\) t.o.v. de \(x\)-as met \(\blue{a}\).
De nieuwe functie wordt \[g(x)=\blue{a}\cdot \e^x\] De asymptoot van \(g\) is dezelfde als van de exponentiële functie, nl. de lijn \(y=0\). Ook is het bereik van \(g\) gelijk aan het bereik van de exponentiële functie, nl. \((0,\infty)\), voor positieve waarden van \(\blue{a}\). Bij negatieve waarden van \(\blue{a}\) wordt het bereik van \(g\) gelijk aan het interval \((-\infty,0)\).
\(\phantom{x}\)
Horizontale schaling
We vermenigvuldigen de grafiek van \(f(x)=\e^x\) t.o.v. de \(y\)-as met \(\blue{\frac{1}{b}}\) voor zekere \(\blue{b}\neq 0\).
De nieuwe functie wordt \[g(x)= \e^{\blue{b}x}\] De asymptoot van \(g\) is dezelfde als van de exponentiële functie, nl. de lijn \(y=0\). Ook is het bereik van \(g\) gelijk aan het bereik van de exponentiële functie, nl. \((0,\infty)\).
Interactief voorbeeld Je kunt bovengenoemde transformaties combineren en zo elk uitgebreid exponentieel verband construeren. In onderstaand interactief voorbeeld kun je het effect van de parameters \(a\), \(b\), \(c\) en \(d\) exploreren die de grafiek van de functie \[g(x)=\color{red}{a}\cdot \e^{\color{green}{b}\cdot(x+\color{blue}{c})+\color{magenta}{d}}\] opleveren via de schuifbalken. We hebben deze schuifbalken zodanig geïnitialiseerd dat een grafiek bij begrensde exponentiële groei te zien is.
