Exponentiële functies en logaritmen: Logaritmen
Transformaties van logaritmische functies
Transformatie van een logaritmische functie Door horizontale en verticale verschuiving, en door verticale schaling van de grafiek van de logaritmische functie \(f(x)=\log_\gamma(x)\) met grondtal \(\gamma\) kan de grafiek gemaakt worden van de functie \[g(x)=a\cdot \log_\gamma(x+c) + d\quad\text{met parameters }a, c, d\text.\] Zo kan een willekeurig uitgebreid logaritmisch verband gemaakt worden.
Ter illustratie bekijken we de horizontale en verticale verschuiving alsmede de verticale schaling van de grafiek van de logaritmische functie \(f(x)=\log_\gamma(x)\) voor zeker grondtal \(\gamma\), die je via een schuifbalk kunt instellen.
\(\phantom{x}\)
Verticale verschuiving
We verschuiven de grafiek van \(f(x)=\log_\gamma(x)\) verticaal omhoog met \(\blue{d}\).
De nieuwe functie wordt \[g(x)=\log_\gamma(x)+\blue{d}\] De verticale asymptoot \(x=0\) , het domein \((0,\infty)\) en het bereik \((-\infty,\infty)\) van \(g\) zijn gelijk gebleven aan die van \(f\).
\(\phantom{x}\)
Horizontale verschuiving
We verschuiven de grafiek van \(f(x)=\log_\gamma(x)\) horizontaal naar links met \(\blue{c}\).
De nieuwe functie wordt \[g(x)=\log_\gamma(x+\blue{c})\] De verticale asymptoot van \(g\) is de lijn \(x=-\blue{c}\). Het domein van \(g\) is gelijk aan \((-\blue{c},\infty)\) Het bereik van \(g\) is gelijk aan het bereik van de logaritmische functie \(f\), nl. \((-\infty,\infty)\).
\(\phantom{x}\)
Verticale schaling
We vermenigvuldigen de grafiek van \(f(x)=\log_\gamma(x)\) t.o.v. de \(x\)-as met \(\blue{a}\).
De nieuwe functie wordt \[g(x)=\blue{a}\cdot \log_\gamma(x)\] De verticale asymptoot \(x=0\) , het domein \((0,\infty)\) en het bereik \((-\infty,\infty)\) van \(g\) zijn gelijk gebleven aan die van \(f\). Eigenlijk doet een verticale schaling niets ander met de functie \(f(x)=\log_\gamma(x)\) dan er een logaritmische functie met een ander grondtal: kies een getal \(h\) zodanig dat \(h^\blue{a}=\gamma\), oftewel \(\log_h(\gamma)=\blue{a}\) en dan is \(\blue{a}\cdot \log_\gamma(x)=\log_h(x)\) volgens rekenregels voor logaritmen.
Interactief voorbeeld Je kunt bovengenoemde transformaties combineren en zo elk uitgebreid logaritmisch verband construeren. In onderstaand interactief voorbeeld kun je het effect van de parameters \(\color{red}{a}\), \(\color{blue}{c}\), \(\color{magenta}{d}\), en \(\color{green}{\gamma}\) that exploreren die de grafiek van de functie \[g(x)=\color{red}{a}\cdot \log_{\color{green}{\gamma}}(x+\color{blue}{c})+\color{magenta}{d}\] opleveren via de schuifbalken.
