Transformaties van logaritmische functies

Exponentiële functies en logaritmen: Logaritmen

Transformaties van logaritmische functies

Door horizontale en verticale verschuiving, en door verticale schaling van de grafiek van de logaritmische functie $f(x)=\log_\gamma(x)$ met grondtal $\gamma$ kan de grafiek gemaakt worden van de functie $g(x)=a\cdot \log_\gamma(x+c) + d\quad\text{met parameters }a, c, d\text.$ Zo kan een willekeurig uitgebreid logaritmisch verband gemaakt worden.

We spreken van een uitgebreid logaritmisch verband als $d\neq0$ . Voor $d=0$ hebben we een 'gewoon' logaritmisch verband van de vorm $y=a\cdot \log_\gamma(x+c)$ voor zekere constanten $a$ , $\gamma$ en $c$ . Door gebruik te maken van de rekenregels voor logaritmen kun je zelfs het aantal nodige constanten beperken tot twee: $y=\log_h(x+c)$ met grondtal $h$ zo gekozen dat $h^a=\gamma$ en voor een constante $c$ .

Ter illustratie bekijken we de horizontale en verticale verschuiving alsmede de verticale schaling van de grafiek van de logaritmische functie $f(x)=\log_\gamma(x)$ voor zeker grondtal $\gamma$ , die je via een schuifbalk kunt instellen.

$\phantom{x}$

Verticale verschuiving

We verschuiven de grafiek van $f(x)=\log_\gamma(x)$ verticaal omhoog met $\blue{d}$ .

De nieuwe functie wordt $g(x)=\log_\gamma(x)+\blue{d}$ De verticale asymptoot $x=0$ , het domein $(0,\infty)$ en het bereik $(-\infty,\infty)$ van $g$ zijn gelijk gebleven aan die van $f$ .

GeoGebra

$\phantom{x}$

Horizontale verschuiving

We verschuiven de grafiek van $f(x)=\log_\gamma(x)$ horizontaal naar links met $\blue{c}$ .

De nieuwe functie wordt $g(x)=\log_\gamma(x+\blue{c})$ De verticale asymptoot van $g$ is de lijn $x=-\blue{c}$ . Het domein van $g$ is gelijk aan $(-\blue{c},\infty)$ Het bereik van $g$ is gelijk aan het bereik van de logaritmische functie $f$ , nl. $(-\infty,\infty)$ .

GeoGebra

$\phantom{x}$

Verticale schaling

We vermenigvuldigen de grafiek van $f(x)=\log_\gamma(x)$ t.o.v. de $x$ -as met $\blue{a}$ .

De nieuwe functie wordt $g(x)=\blue{a}\cdot \log_\gamma(x)$ De verticale asymptoot $x=0$ , het domein $(0,\infty)$ en het bereik $(-\infty,\infty)$ van $g$ zijn gelijk gebleven aan die van $f$ . Eigenlijk doet een verticale schaling niets ander met de functie $f(x)=\log_\gamma(x)$ dan er een logaritmische functie met een ander grondtal: kies een getal $h$ zodanig dat $h^\blue{a}=\gamma$ , oftewel $\log_h(\gamma)=\blue{a}$ en dan is $\blue{a}\cdot \log_\gamma(x)=\log_h(x)$ volgens rekenregels voor logaritmen.

GeoGebra

Horizontale schaling, d.w.z. vermenigvuldiging t.o.v. de $y$ -as met scalair $\frac{1}{b}$ , is in het overzicht van transformaties niet opgenomen omdat het volgens de rekenregels van logaritmen in het geval $b>0$ eigenlijk een verticale verschuiving is. Immer als $y=\log_\gamma(b\cdot x)$ dan geldt $y=\log_\gamma(x)+ \log_\gamma(b)$ . Als $b<0$ , dan is de transformatie een verticale verschuiving van de gespiegelde functie $\log_\gamma(-x)$ . In dit laatste geval bestaat het domein van de functie uit alle negatieve reële getallen.

Je kunt bovengenoemde transformaties combineren en zo elk uitgebreid logaritmisch verband construeren. In onderstaand interactief voorbeeld kun je het effect van de parameters $\color{red}{a}$ , $\color{blue}{c}$ , $\color{magenta}{d}$ , en $\color{green}{\gamma}$ that exploreren die de grafiek van de functie $g(x)=\color{red}{a}\cdot \log_{\color{green}{\gamma}}(x+\color{blue}{c})+\color{magenta}{d}$ opleveren via de schuifbalken.

GeoGebra