Exponentiële functies en logaritmen: Logaritmen
Vergelijkingen en ongelijkheden met logaritmen met hetzelfde grondtal
De vergelijking \(\log_2(x)=\log_2(x^2+\tfrac{1}{4}\) kun je oplossen doordat de twee logaritmen alleen aan elkaar gelijk kunnen zijn als hun argumenten gelijk zijn aan elkaar. In dit voorbeeld moet dus gelden dat \(x=x^2+\tfrac{1}{4}\) oftewel \(x^2-x+\tfrac{1}{4}=0\). Ontbinding in factoren geeft \((x-\tfrac{1}{2})^2=0\) en de oplossing is \(x=\tfrac{1}{2}\).
Deze aanpak werkt bij iedere vergelijking van de vorm \(\log_g(A)=\log_g(B)\) mits je eindresultaten checkt op correctheid. Als je namelijk gestart was met de vergelijking \(\log_2(x)=\log_2(x^2-2)\), dan zou deze aanpak leiden tot de kwadratische vergelijking \(x^2-x-2=0\), oftewel \((x+1)(x-2)=0\), met oplossingen \(x=-1\) en \(x=2\). Echter \(x=-1\) is geen oplossing van de oorspronkelijke vergelijking omdat substitutie leidt tot de logaritme van een negatief getal en dat kan niet omdat het domein van een logaritmische functie alleen uit positieve reële getallen bestaat.
Een vergelijking met logaritmische functies die hetzelfde grondtal hebben Bij het oplossen van logaritmische vergelijkingen van de vorm \(\log_g(A)=\log_g(B)\), met \(A\) en \(B\) willekeurige getallen of wiskundige uitdrukkingen, hanteren we de volgende regel: \[\log_g(A)=\log_g(B) \implies A=B\] met dien verstande dat we voor elke oplossing van de vergelijking \(A=B\) moeten controleren of deze bij substitutie in de gegeven vergelijking niet leidt tot een logaritme met een negatief argument.
Bovenstaande regel is echter niet altijd meteen toepasbaar; je moet er vaak eerst naar deze vorm toewerken (zie onderstaande voorbeelden).
\(x={}\)\(\frac{56}{5}\)
De basisregel voor logaritmen zegt dat als \(\log_g(B)=A\) dan \(g^A=B\).
Dus, met \(g=7, A=2, B=5x-7\) krijgen we: \[7^2=5 x-7\] Dit betekent dat
\[5 x-7=49\] oftewel \[x=\frac{56}{5}\]
Je kunt ook tot de lineaire vergelijking \(7^2=5 x-7\) komen door de rechterkant van de vergelijking te schrijven als logaritme met grondtal 7 via rekenregels voor logaritmen: \[\begin{aligned}\log_{7}(5 x-7)&=2\log_{7}(7) \\ &=\log_{7}(7^2)\end{aligned}\] Hierna concludeer je dat de argumenten van de logaritmen links en rechts aan elkaar gelijk moeten zijn, d.w.z. \(5 x-7=7^2\).
Een tweede alternatief is om de linker- en rechterkant van de gegeven vergelijking als exponent van een macht van 7 te gebruiken. In dit geval: \[7^{\log_{7}(5 x-7)}=7^2\] en de linkerkant is per definitie van \(\log_{7}\) gelijk aan \(5 x-7\).
Een ongelijkheid met logaritmen oplossen Een ongelijkheid met logaritmen oplossen, zeg \(f(x)<g(x)\), gaat meestal in twee stappen:
- Los eerst de bijpassende vergelijking, in ons voorbeeld \(f(x)=g(x)\), op.
- Stel dat de ongelijkheid uit continue functies \(f\) en \(g\) bestaat en de oplossingen van de vergelijking in opklimmende volgorde \(x=x_1,x=x_2, \ldots, x_n\) zijn. Dan volstaat het om op elk van de intervallen \((\infty,x_1), (x_1,x_2), \ldots, (x_{n-1},x_n), (x_n,\infty)\) na te gaan in één punt of de ongelijkheid op het interval waar of niet waar is.
Als één van de functies een constante is, en er maar één oplossing van de bijpassende vergelijking is dan volstaat ook om te weten of een functie dalend of stijgend is.
Uiteraard mag je ook gebruikmaken van de grafieken van \(f\) en \(g\), als je deze ter beschikking hebt.
Voorbeelden illustreren bovenstaande oplossingsmethode voor ongelijkheden met logaritmen.
Gegeven is de functie \[ f(x) = -1 + \log_{3}(4 x) \] Los de ongelijkheid \(f(x) \lt 2\) exact op.
Schrijf je antwoord met ongelijkheidstekens \(\leq\) , \(\geq\) , \(<\) en \(>\). Als de ongelijkheid op meerdere intervallen geldt scheid je deze met het symbool \(\lor\).
Je kunt via de invoerhulp ook intervalnotatie gebruiken om het antwoord te specificeren
De functie is gedefinieerd voor \(4 x> 0\), dus voor \(x > 0\). Het domein van \(f\) is dus \(D_f = \left(0,\infty\right)\) en de verticale asymptoot is de lijn \(x=0\). Als \(x\) richting \(0\) gaat (vanaf rechts), dan gaat \(f(x)\) richting \(-\infty\) en dus de functie is stijgend. Om de ongelijkheid op te lossen onderzoeken we waar \(f(x)\) gelijk is aan \(2\): \[\begin{aligned} -1 + \log_{3}(4 x) &=2 \\[0.25cm]
\log_{3}(4 x) &= 3 \\[0.25cm]
4 x &= 3^3 \\[0.25cm]
x &= \frac{27}{4}\end{aligned}\] Omdat \(f\) een stijgende functies concluderen we dat \(f(x)<2\) voor \(0< x<\frac{27}{4}\)
(de functie is niet gedefinieerd links van de verticale asymptoot \(x=0\)).
