Exponentiële functies en logaritmen: Logaritmen
Vergelijkingen en ongelijkheden die logaritmen met verschillend grondtal bevatten
Wanneer er in een vergelijking of ongelijkheid logaritmen met een verschillend grondtal aanwezig zij, dan helpt de rekenregel \[\log_g(x) =\frac{\log_h(x)}{\log_h(g)}\] om alle logaritmen om te zetten naar logaritmen met hetzelfde grondtal.
Onderstaande voorbeelden laten zien het dat gaat.
\(x={}\)\(125\)
De gegeven vergelijking is: \[\log_{5}(x)+\log_{125}(x)=4\] De eerste stap is om de grondtallen aan elkaar gelijk maken. Welk grondtal je neemt maakt niet uit. Hier stellen we de grondtallen gelijk aan \(5\). Dus: \[\log_{5}(x)+\frac{\log_{5}(x)}{\log_{5}(125)}=4\] Het linkerlid kan verder vereenvoudigd worden: \[\begin{aligned}\log_{5}(x)+\frac{\log_{5}(x)}{\log_{5}(5^{3})}&=\log_{5}(x)+\frac{\log_{5}(x)}{3}\\[0.25cm] &=\log_{5}(x)\bigg(1+\frac{1}{3}\bigg)=\frac{4}{3}\log_{5}(x)\\[0.25cm]\end{aligned}\] Dus \[\frac{4}{3}\log_{5}(x)=4\] oftewel \[\log_{5}(x)=3\] Op basis van de definitie van de logaritme met grondtal 5 krijgen we dan: \[\begin{aligned}x&=5^{3}\\[0.25cm] &=125\end{aligned}\]
De gegeven vergelijking is: \[\log_{5}(x)+\log_{125}(x)=4\] De eerste stap is om de grondtallen aan elkaar gelijk maken. Welk grondtal je neemt maakt niet uit. Hier stellen we de grondtallen gelijk aan \(5\). Dus: \[\log_{5}(x)+\frac{\log_{5}(x)}{\log_{5}(125)}=4\] Het linkerlid kan verder vereenvoudigd worden: \[\begin{aligned}\log_{5}(x)+\frac{\log_{5}(x)}{\log_{5}(5^{3})}&=\log_{5}(x)+\frac{\log_{5}(x)}{3}\\[0.25cm] &=\log_{5}(x)\bigg(1+\frac{1}{3}\bigg)=\frac{4}{3}\log_{5}(x)\\[0.25cm]\end{aligned}\] Dus \[\frac{4}{3}\log_{5}(x)=4\] oftewel \[\log_{5}(x)=3\] Op basis van de definitie van de logaritme met grondtal 5 krijgen we dan: \[\begin{aligned}x&=5^{3}\\[0.25cm] &=125\end{aligned}\]
Ontgrendel volledige toegang
