Exponentiële functies en logaritmen: Logaritmen
Vergelijkingen en ongelijkheden die logaritmen met verschillend grondtal bevatten
Wanneer er in een vergelijking of ongelijkheid logaritmen met een verschillend grondtal aanwezig zij, dan helpt de rekenregel \[\log_g(x) =\frac{\log_h(x)}{\log_h(g)}\] om alle logaritmen om te zetten naar logaritmen met hetzelfde grondtal.
Onderstaande voorbeelden laten zien het dat gaat.
\(x={}\)\(8\)
De gegeven vergelijking is: \[\log_{2}(x)+\log_{8}(x)=4\] De eerste stap is om de grondtallen aan elkaar gelijk maken. Welk grondtal je neemt maakt niet uit. Hier stellen we de grondtallen gelijk aan \(2\). Dus: \[\log_{2}(x)+\frac{\log_{2}(x)}{\log_{2}(8)}=4\] Het linkerlid kan verder vereenvoudigd worden: \[\begin{aligned}\log_{2}(x)+\frac{\log_{2}(x)}{\log_{2}(2^{3})}&=\log_{2}(x)+\frac{\log_{2}(x)}{3}\\[0.25cm] &=\log_{2}(x)\bigg(1+\frac{1}{3}\bigg)=\frac{4}{3}\log_{2}(x)\\[0.25cm]\end{aligned}\] Dus \[\frac{4}{3}\log_{2}(x)=4\] oftewel \[\log_{2}(x)=3\] Op basis van de definitie van de logaritme met grondtal 2 krijgen we dan: \[\begin{aligned}x&=2^{3}\\[0.25cm] &=8\end{aligned}\]
De gegeven vergelijking is: \[\log_{2}(x)+\log_{8}(x)=4\] De eerste stap is om de grondtallen aan elkaar gelijk maken. Welk grondtal je neemt maakt niet uit. Hier stellen we de grondtallen gelijk aan \(2\). Dus: \[\log_{2}(x)+\frac{\log_{2}(x)}{\log_{2}(8)}=4\] Het linkerlid kan verder vereenvoudigd worden: \[\begin{aligned}\log_{2}(x)+\frac{\log_{2}(x)}{\log_{2}(2^{3})}&=\log_{2}(x)+\frac{\log_{2}(x)}{3}\\[0.25cm] &=\log_{2}(x)\bigg(1+\frac{1}{3}\bigg)=\frac{4}{3}\log_{2}(x)\\[0.25cm]\end{aligned}\] Dus \[\frac{4}{3}\log_{2}(x)=4\] oftewel \[\log_{2}(x)=3\] Op basis van de definitie van de logaritme met grondtal 2 krijgen we dan: \[\begin{aligned}x&=2^{3}\\[0.25cm] &=8\end{aligned}\]
Ontgrendel volledige toegang
