We nemen de verdeling van het interval \([a,b]\) in \(n\) gelijke stukken: \[x_k= a+k h\] voor \(k=1,2\ldots n\) met \[h=\frac{b-a}{n}\tiny.\] Voor de selectie van de strooipunten onderscheiden we de volgende drie gevallen: Kies voor elk deelinterval \([x_{k-1},x_k]\) steeds het

1. linkerpunt, \(\;\,\,s_k=a+(k-1)h\;\) (linkerpunt-Riemannsom)
2. rechterpunt, \(\;\!s_k=a+k h\qquad\;\;\) (rechterpunt-Riemannsom)
3. middelpunt, \(\,s_k=a+(k-\tfrac{1}{2})h\) (middelpunt-Riemannsom)

De Riemannsommen kunnen nu als volgt opgeschreven worden:

1. linkerpunt-Riemannsom = \(\displaystyle h\sum_{k=1}^{n}f\bigl(a+(k-1) h\bigr)\)
2. rechterpunt-Riemannsom = \(\displaystyle h\sum_{k=1}^{n}f\bigl(a+k h\bigr)\)
3. middelpunt-Riemannsom = \(\displaystyle h\sum_{k=1}^{n}f\bigl(a+(k-\tfrac{1}{2}) h\bigr)\)

Deze sommen worden gebruikt om de oppervlakte van het gebied onder \(f\) te benaderen. Een visualisatie van de Riemannsommen is hieronder geplaatst om mee te spelen zodat je een beter beeld van de verschillende situaties kunt krijgen.

Programmeeropdracht

Schrijf een functie Riemannsom(f,a,b,n,methode='linkerpunt') die niet alleen de linkerpunt-Riemannsom berekent van de functie \(f\) op het interval \([a,b]\) bij een verdeling in \(n\) subintervallen, maar ook de rechterpunt- respectievelijk middelpunt-Riemannsom berekent bij de optie methode='rechterpunt' respectievelijk methode='middelpunt'.

Pas jouw functie toe met \(n=100\) in de volgende twee gevallen:

• \(\displaystyle \int_0^1\frac{4}{x^2+1}\,\dd x=\pi\)
  
  
• \(\displaystyle \int_0^{\pi}\sin(x)\,\dd x=2\)