We nemen de verdeling van het interval $[a,b]$ in $n$ gelijke stukken:

$$x_k= a+k h$$ voor $k=1,2\ldots n$ met $$h=\frac{b-a}{n}\tiny.$$ Voor de selectie van de strooipunten onderscheiden we de volgende drie gevallen: Kies voor elk deelinterval $[x_{k-1},x_k]$ steeds het

1. linkerpunt, $\;\,\,s_k=a+(k-1)h\;$ (linkerpunt-Riemannsom)
2. rechterpunt, $\;\!s_k=a+k h\qquad\;\;$ (rechterpunt-Riemannsom)
3. middelpunt, $\,s_k=a+(k-\tfrac{1}{2})h$ (middelpunt-Riemannsom)

De Riemannsommen kunnen nu als volgt opgeschreven worden:

1. linkerpunt-Riemannsom = $\displaystyle h\sum_{k=1}^{n}f\bigl(a+(k-1) h\bigr)$
2. rechterpunt-Riemannsom = $\displaystyle h\sum_{k=1}^{n}f\bigl(a+k h\bigr)$
3. middelpunt-Riemannsom = $\displaystyle h\sum_{k=1}^{n}f\bigl(a+(k-\tfrac{1}{2}) h\bigr)$

Deze sommen worden gebruikt om de oppervlakte van het gebied onder $f$ te benaderen. Een visualisatie van de Riemannsommen is hieronder geplaatst om mee te spelen zodat je een beter beeld van de verschillende situaties kunt krijgen.

Programmeeropdracht

Schrijf een functie Riemannsom(f,a,b,n,methode='linkerpunt') die niet alleen de linkerpunt-Riemannsom berekent van de functie $f$ op het interval $[a,b]$ bij een verdeling in $n$ subintervallen, maar ook de rechterpunt- respectievelijk middelpunt-Riemannsom berekent bij de optie methode='rechterpunt' respectievelijk methode='middelpunt'.

Pas jouw functie toe met $n=100$ in de volgende twee gevallen:

• $\displaystyle \int_0^1\frac{4}{x^2+1}\,\dd x=\pi$
  
  
• $\displaystyle \int_0^{\pi}\sin(x)\,\dd x=2$