De strooipunten zijn $s_k=a+(k-1)h$ voor $k=1,\ldots n$ en de linkerpunt-Riemannsom is gegeven door $$R=\sum_{k=1}^{n}f(a+(k-1)h)\cdot h= \bigl( f(a)+f(a+h)+\cdots f(b-h)\bigr)\cdot h$$ We noteren $s_{n+1}=b$. We beschouwen eerst het deelinterval $[s_{k},s_{k+1}]$ en merken op dat uit de stelling van Taylor volgt dat $$f(x)=f(s_{k})+f'(\xi_x)(x-s_{k})$$ voor $x$ en $\xi_x$ in dit interval ($\xi$ hangt van $x$ af, maar dit doet er niet echt toe). Daarom geldt: $$\left|\int_{s_{k}}^{s_{k+1}}\bigl(f(x)-f(s_{k})\bigr)\,\dd x\right|\le M\cdot \int_{s_{k}}^{s_{k+1}} (x-s_{k})\,\dd x=M\cdot \tfrac{1}{2}h^2$$ zodat $$\left|\int_{s_{k}}^{s_{k+1}}f(x)\,\dd x - f(s_{k})h\right|\le \tfrac{1}{2}M h^2$$ Maar dan: $$\begin{aligned}\left|\int_a^b f(x)\,\dd x - R\right|&=\left|\sum_{k=1}^{n}\int_{s_{k}}^{s_{k+1}}f(x)\,\dd x-\sum_{k=1}^{n}f(s_{k})h\right|\\ \\ &=\left|\sum_{k=1}^{n}\left(\int_{s_{k}}^{s_{k+1}}f(x)\,\dd x-f(s_{k})h\right)\right|\\ \\ &\le \sum_{k=1}^{n}\left|\int_{s_{k}}^{s_{k+1}}f(x)\,\dd x - f(s_{k})h\right|\\ \\ &\le \sum_{k=1}^{n}\tfrac{1}{2}M h^2 = \tfrac{1}{2}M h^2 n=\tfrac{1}{2}M(b-a)h\end{aligned}$$

De strooipunten zijn $s_k=a+(k-\tfrac{1}{2})h$ voor $k=1,\ldots n$ en de middelpunt-Riemannsom is gegeven door $$R=\sum_{k=1}^{n}f(a+(k-\tfrac{1}{2}h)\cdot h= \bigl( f(a+\tfrac{1}{2}h)+f(a+\tfrac{3}{2}h)+\cdots f(b-\tfrac{1}{2}\,h)\bigr)\cdot h$$ De punten van de verdeling zijn $x_k=a+k\cdot h$ voor $k=0,1,\ldots n$. We beschouwen eerst het subinterval $[x_{k-1},x_{k}]$ voor $k=1,\ldots n$ en merken op dat uit de stelling van Taylor volgt dat $$f(x)=f(s_{k})+f'(s_{k})(x-s_{k})+\tfrac{1}{2}f''(\xi_x)(x-s_{k-1})^2$$ voor $x$ en $\xi_x$ in dit subinterval ($\xi_x$ hangt van $x$ af, maar dit doet er niet echt toe). Dan geldt: $$\begin{aligned}\left|\int_{x_{k-1}}^{x_{k}}\bigl(f(x)-f(s_{k})\bigr)\,\dd x\right|&= \left|\int_{x_{k-1}}^{x_{k}} f'(s_k)(x-s_{k})\,\dd x+\int_{x_{k-1}}^{x_{k}}\tfrac{1}{2}f''(\xi_x) (x-s_{k})^2\,\dd x\right|\\ \\ &\le\tfrac{1}{2}M\cdot \tfrac{1}{3}\cdot2\cdot (\tfrac{1}{2}h)^3=\tfrac{1}{24}Mh^3\end{aligned}$$ Dit resultaat bereik je als je bedenkt dat de eerste integraal is gelijk aan $0$ omdat $s_k$ precies in het midden tussen $x_{k-1}$ en $x_k$ in ligt en dat de tweede integraal afgeschat kan worden. Dus: $$\left|\int_{x_{k-1}}^{x_{k}}f(x)\,\dd x - f(s_{k})h\right|\le \tfrac{1}{24}Mh^3$$ Maar dan: $$\begin{aligned}\left|\int_a^b f(x)\,\dd x - R\right|&=\left|\sum_{k=1}^{n}\int_{x_{k-1}}^{x_{k}}f(x)\,\dd x-\sum_{k=1}^{n}f(s_{k})h\right|\\ \\ &=\left|\sum_{k=1}^{n}\left(\int_{x_{k-1}}^{x_{k}}f(x)\,\dd x-f(s_{k})h\right)\right|\\ \\ &\le \sum_{k=1}^{n}\left|\int_{x_{k-1}}^{x_{k}}f(x)\,\dd x - f(s_{k})h\right|\\ \\ &\le \sum_{k=1}^{n}\tfrac{1}{24}\,M\cdot h^3 = \tfrac{1}{24}M\cdot h^3 n=\tfrac{1}{24}M(b-a)h^2\end{aligned}$$