We bekijken de afbreekfout in de linkerpunt-Riemannsom (voor de rechterpunt-Riemannsom is de afleiding analoog en het resultaat hetzelfde) en de middelpunt-Riemannsom van een 'nette' functie \(f(x)\) op het interval \([a,b]\). We veronderstellen \(n\) strooipunten die op afstand \(\displaystyle h=\frac{b-a}{n}\) van elkaar liggen. We noteren de Riemannsom met de letter \(R\). Uit de analyse zal blijken dat de middelpunt-Riemannsom een betere numerieke integratiemethode is dan de linkerpunt- of rechterpunt-Riemannsom.
Stel dat \(M\) het maximum van \(|f'|\) op \([a,b]\) is. Dan geldt voor de linkerpunt-Riemannsom \(R\): \[\left|\int_a^bf(x)\,\dd x - R\right|\le \tfrac{1}{2}M(b-a)h\] Met andere woorden: de afbreekfout is lineair in de maaswijdte \(h\)
De strooipunten zijn \(s_k=a+(k-1)h\) voor \(k=1,\ldots n\) en de linkerpunt-Riemannsom is gegeven door \[R=\sum_{k=1}^{n}f(a+(k-1)h)\cdot h= \bigl( f(a)+f(a+h)+\cdots f(b-h)\bigr)\cdot h\] We noteren \(s_{n+1}=b\). We beschouwen eerst het deelinterval \([s_{k},s_{k+1}]\) en merken op dat uit de stelling van Taylor volgt dat \[f(x)=f(s_{k})+f'(\xi_x)(x-s_{k})\] voor \(x\) en \(\xi_x\) in dit interval (\(\xi\) hangt van \(x\) af, maar dit doet er niet echt toe). Daarom geldt: \[\left|\int_{s_{k}}^{s_{k+1}}\bigl(f(x)-f(s_{k})\bigr)\,\dd x\right|\le M\cdot \int_{s_{k}}^{s_{k+1}} (x-s_{k})\,\dd x=M\cdot \tfrac{1}{2}h^2\] zodat \[\left|\int_{s_{k}}^{s_{k+1}}f(x)\,\dd x - f(s_{k})h\right|\le \tfrac{1}{2}M h^2\] Maar dan: \[\begin{aligned}\left|\int_a^b f(x)\,\dd x - R\right|&=\left|\sum_{k=1}^{n}\int_{s_{k}}^{s_{k+1}}f(x)\,\dd x-\sum_{k=1}^{n}f(s_{k})h\right|\\ \\ &=\left|\sum_{k=1}^{n}\left(\int_{s_{k}}^{s_{k+1}}f(x)\,\dd x-f(s_{k})h\right)\right|\\ \\ &\le \sum_{k=1}^{n}\left|\int_{s_{k}}^{s_{k+1}}f(x)\,\dd x - f(s_{k})h\right|\\ \\ &\le \sum_{k=1}^{n}\tfrac{1}{2}M h^2 = \tfrac{1}{2}M h^2 n=\tfrac{1}{2}M(b-a)h\end{aligned}\]
Stel dat \(M\) het maximum van \(|f'|\) op \([a,b]\) is. Dan geldt voor de rechterpunt-Riemannsom \(R\): \[\left|\int_a^bf(x)\,\dd x - R\right|\le \tfrac{1}{2}M(b-a)h\] Met andere woorden: de afbreekfout is lineair in de maaswijdte \(h\)
Stel dat \(M\) het maximum van \(|f''|\) op \([a,b]\) is. Dan geldt voor de middelpunt-Riemannsom \(R\): \[\left|\int_a^bf(x)\,\dd x - R\right|\le \tfrac{1}{24}M(b-a)h^2\] Met andere woorden: de afbreekfout is kwadratisch in de maaswijdte \(h\).
De strooipunten zijn \(s_k=a+(k-\tfrac{1}{2})h\) voor \(k=1,\ldots n\) en de middelpunt-Riemannsom is gegeven door \[R=\sum_{k=1}^{n}f(a+(k-\tfrac{1}{2}h)\cdot h= \bigl( f(a+\tfrac{1}{2}h)+f(a+\tfrac{3}{2}h)+\cdots f(b-\tfrac{1}{2}\,h)\bigr)\cdot h\] De punten van de verdeling zijn \(x_k=a+k\cdot h\) voor \(k=0,1,\ldots n\). We beschouwen eerst het subinterval \([x_{k-1},x_{k}]\) voor \(k=1,\ldots n\) en merken op dat uit de stelling van Taylor volgt dat \[f(x)=f(s_{k})+f'(s_{k})(x-s_{k})+\tfrac{1}{2}f''(\xi_x)(x-s_{k-1})^2\] voor \(x\) en \(\xi_x\) in dit subinterval (\(\xi_x\) hangt van \(x\) af, maar dit doet er niet echt toe). Dan geldt: \[\begin{aligned}\left|\int_{x_{k-1}}^{x_{k}}\bigl(f(x)-f(s_{k})\bigr)\,\dd x\right|&= \left|\int_{x_{k-1}}^{x_{k}} f'(s_k)(x-s_{k})\,\dd x+\int_{x_{k-1}}^{x_{k}}\tfrac{1}{2}f''(\xi_x) (x-s_{k})^2\,\dd x\right|\\ \\ &\le\tfrac{1}{2}M\cdot \tfrac{1}{3}\cdot2\cdot (\tfrac{1}{2}h)^3=\tfrac{1}{24}Mh^3\end{aligned}\] Dit resultaat bereik je als je bedenkt dat de eerste integraal is gelijk aan \(0\) omdat \(s_k\) precies in het midden tussen \(x_{k-1}\) en \(x_k\) in ligt en dat de tweede integraal afgeschat kan worden. Dus: \[\left|\int_{x_{k-1}}^{x_{k}}f(x)\,\dd x - f(s_{k})h\right|\le \tfrac{1}{24}Mh^3\] Maar dan: \[\begin{aligned}\left|\int_a^b f(x)\,\dd x - R\right|&=\left|\sum_{k=1}^{n}\int_{x_{k-1}}^{x_{k}}f(x)\,\dd x-\sum_{k=1}^{n}f(s_{k})h\right|\\ \\ &=\left|\sum_{k=1}^{n}\left(\int_{x_{k-1}}^{x_{k}}f(x)\,\dd x-f(s_{k})h\right)\right|\\ \\ &\le \sum_{k=1}^{n}\left|\int_{x_{k-1}}^{x_{k}}f(x)\,\dd x - f(s_{k})h\right|\\ \\ &\le \sum_{k=1}^{n}\tfrac{1}{24}\,M\cdot h^3 = \tfrac{1}{24}M\cdot h^3 n=\tfrac{1}{24}M(b-a)h^2\end{aligned}\]
Afbreekfout in Riemannsommen
