De trapeziumregel kan afgeleid worden door de functie $f(x)$ op het interval $[a,b]$ te benaderen met $n$ lijnstukjes die opeenvolgende punten van de verdeling met elkaar verbinden, voor een verdeling van $n+1$ equidistante punten op het interval met maaswijdte $h=\frac{b-a}{n}$. Onderstaande figuur visualiseert dit.

We beginnen dus met het verdelen van het interval $[a,b]$ in $n$ gelijke stukken met maaswijdte $h$. De punten van de verdeling zijn $x_k=a+k h$ met $k=0,1,\ldots n$. We bekijken het deelinterval $[x_{k-1},x_k]$. We benaderen de integraal

$$\int_{x_{k-1}}^{x_{k}}f(x)\,\dd x$$ met de oppervlakte $I_k$ van het trapezium met hoekpunten $\bigl(x_{k-1},0\bigr)$, $\bigl(x_{k-1},f(x_{k-1})\bigr)$, $\bigl(x_{k},f(x_{k})\bigr)$ en $\bigl(x_{k},0\bigr)$. Deze is gemakkelijk meetkundig uit de rekenen: $$I_k=\frac{h}{2}\bigl(f(x_{k-1})+f(x_{k})\bigr)$$ Sommeren we over alle deelintervallen dan krijgen we $$\begin{aligned}I&=\sum_{k=1}^nI_k=\sum_{k=1}^n \frac{h}{2}\bigl(f(x_{k-1})+f(x_k)\bigr) \\ \\ &= \frac{h}{2}f(x_0)+h\left(\sum_{k=1}^{n-1} f(x_k)\right)+\frac{h}{2}f(x_n) \\ \\ &= \frac{h}{2}f(a)+h\left(\sum_{k=1}^{n-1} f(a+kh)\right)+\frac{h}{2}f(b)\end{aligned}$$ We hebben hiermee het volgende resultaat gevonden.

Deze sommen worden gebruikt om de oppervlakte van het gebied onder $f$ te benaderen. Een visualisatie van de trapeziumregel is hieronder geplaatst om mee te spelen opdat je een beter beeld van de trapeziumregel kunt krijgen.

---

Programmeeropdracht

Schrijf een functie Trapeziumregel(f,a,b,n) die de trapeziumregel implementeert.

Pas jouw functie toe met $n=100$ in de volgende twee gevallen:

• $\displaystyle \int_0^1\frac{4}{x^2+1}\,\dd x=\pi$
  
  
• $\displaystyle \int_0^{\pi}\sin(x)\,\dd x=2$