Het bewijs komt neer op tweemaal partieel integreren toepassen: \[\begin{aligned}\int_a^b(x-a)(b-x)f''(x)\,\dd x &= \bigl[(x-a)(b-x)f'(x)\bigr]_a^b-\int_a^b(a+b-2x)f'(x)\,\dd x\\ \\ &=\int_a^b(2x-a-b)f'(x)\,\dd x\\ \\ &=\bigl[(2x-a-b)f(x)\bigr]_a^b-\int_a^b 2f(x)\,\dd x\\ \\ &= -2\int_a^b f(x)\,\dd x\end{aligned}\]

De punten van de verdeling zijn \(x_k=a+kh\) voor \(k=0,1,\ldots n\) met \(h=\frac{b-a}{n}\) en de trapeziumregel is gegeven door \[T=\frac{h}{2}\bigl(f(a)+f(b)\bigr)+h\sum_{k=1}^{n-1} f(a+kh)\] We beschouwen eerst het deelinterval \([x_{k-1},x_{k}]\) voor \(k=1,\ldots n\) en schatten de bijdrage aan de afbreekfout op elk deelinterval. We introduceren de functie \[g(x)=f(x)-f(x_{k-1})-\frac{\bigl(f(x_{k})-f(x_{k-1})\bigr)\bigl(x-x_{k-1}\bigr)}{h}\] De functie \(g\) is de afwijking van \(f\) op het interval \([x_{k-1},x_{k}]\) met de lineaire functie tussen de punten \(\bigl(x_{k-1},f(x_{k-1})\bigr)\) en \(\bigl(x_{k},f(x_{k})\bigr)\). Dan is \(\displaystyle \int_{x_{k-1}}^{x_k}g(x)\,\dd x\) gelijk aan de bijdrage van dit deelinterval aan de afbreekfout van de trapeziumregel. Omdat de functie \(g\) tweemaal differentieerbaar is, en per definitie is \(g(x_{k-1})=g(x_{k})=0\) is de hulpstelling toepasbaar: \[\int_{x_{k-1}}^{x_k}g(x)\,\dd x=-\frac{1}{2}\int_{x_{k-1}}^{x_k} (x-x_{k-1})(x_{k}-x)g''(x)\,\dd x\] Per definitie geldt ook \(g''(x)=f''(x)\) en dus: \[\begin{aligned}\left|\int_{x_{k-1}}^{x_k}g(x)\,\dd x\right| &\le \frac{1}{2}\int_{x_{k-1}}^{x_k} (x-x_{k-1})(x_{k}-x)|f''(x)|\,\dd x \\ \\ &\le \frac{M}{2} \int_{x_{k-1}}^{x_k} (x-x_{k-1})(x_k-x)\,\dd x \\ \\ &=\frac{M}{2}\int_{x_{k-1}}^{x_k} (-x^2+(x_{k-1}+x_k)x-x_{k-1}x_{k})\,\dd x\\ \\ &= \frac{M}{12}(x_{k}-x_{k-1})^3\\ \\ &= \frac{M}{12}h^3\end{aligned}\] Voor de afbreekfout van de trapeziumregel geldt dan \[\left|\int_a^bf(x)\,\dd x - T\right|\le\sum_{k=1}^n \tfrac{1}{12}Mh^3=\tfrac{1}{12}Mh^3n=\tfrac{1}{12}M(b-a)h^2\]