We bekijken een 'nette' functie \(f\) in de buurt van een punt \(x_0\). De tweede afgeleide \(f''\) is natuurlijk de afgeleide van de eerste afgeleide \(f'\). Als je de 3-punts centrale differentieformule herhaald toepast kun je daardoor toe een benaderingsformule voor de tweede afgeleide in \(x_0\) komen bij een stapgrootte \(h\).

\[\begin{aligned} f''(x_0)&\approx \frac{f'(x_0+h)-f'(x_0-h)}{2h} \\ \\ &\approx\frac{\displaystyle\frac{f(x_0+2h)-f(x_0)}{2h}-\frac{f(x_0)-f(x_0-2h)}{2h}}{2h}\\ \\ &=\frac{f(x_0+2h)-2f(x_0)+f(x_0-2h)}{(2h)^2}\end{aligned}\]

Maar je ziet nu dat je de functiewaarden in \(x_0-2h\), \(x_0\) en \(x_0+2h\) nodigt hebt. Als je evenwel denkbeeldige punten op \(x_0-\tfrac{1}{2}h\) en \(x_0+\tfrac{1}{2}h\) gebruiken dan kom je op deze manier uit op de volgende centrale 3-punts differentieformule voor de tweede afgeleide

Een meer formele afleiding van de 3-punts centrale differentieformule voor de tweede afgeleide geeft meer inzicht in de afbreekfout.

We bekijken twee Taylorbenaderingen rondom \(x_0\): \[\begin{aligned} f(x_0+h)=f(x_0)+f'(x_0)h+\tfrac{1}{2}f''(x_0)h^2+\tfrac{1}{6}f'''(x_0)h^3+ O(h^4)\\[3pt] f(x_0-h)=f(x_0)-f'(x_0)h+\tfrac{1}{2}f''(x_0)h^2-\tfrac{1}{6}f'''(x_0)h^3+ O(h^4)\end{aligned}\] Tellen we de twee vergelijkingen bij elkaar op, dan krijgen we: \[ f(x_0+h)+ f(x_0-h)=2f(x_0)h +f''(x_0)h^2 +O(h^4)\] oftewel \[\frac{f(x_0+h)-2f(x_0)+f(x_0-h)}{h^2}=f''(x_0)+ O(h^2)\] De afbreekfout bij centrale differentie is kwadratisch in \(h\).