Numeriek differentiëren: Differentieformules voor de tweede afgeleide
Algemene differentieformules voor de tweede afgeleide
De algemene aanpak bij \(n+1\) verschillende roosterpunten \(x_0, x_1, \ldots x_n\), die een veelvoud van stapgrootte \(h\) van elkaar verschillen, is om coëfficiënten \(c_0, c_1, \ldots, c_n\) te vinden zodanig dat de uitdrukking \[Q(h)\stackrel{\mathrm{def}}{=}\sum_{i=0}^n c_if(x_i)\] de tweede afgeleide \(f''(x_0)\) benadert met een zo groot mogelijke orde van de afbreekfout. De coëfficiënten \(c_0, c_1, \ldots, c_n\) vinden we door elke \(f(x_i)\) in een Taylorpolynoom rondom \(x_0\) van voldoende hoge graad te ontwikkelen en dan vergelijkingen voor de onbekende \(c_i\)'s op te stellen en op te lossen.
Centrale 3-punts formule We nemen 3 roosterpunten \(x_0-h\), \(x_0\) en \(x_0+h\). We definiëren de formule \[Q(h)=A\cdot f(x_0-h)+B\cdot f(x_0)+C\cdot f(x_0+h)\] en bepalen de Taylor benadering van \(Q(h)\). We weten dat \[\begin{aligned} f(x_0-h) &= f(x_0)-f'(x_0)h+\tfrac{1}{2}f''(x_0)h^2+O(h^3)\\ f(x_0+h) &= f(x_0)+f'(x_0)h+\tfrac{1}{2}f''(x_0)h^2+O(h^3)\end{aligned}\] en dus \[\begin{aligned}Q(h) &= A\cdot ( f(x_0)-f'(x_0)h+\tfrac{1}{2}f''(x_0)h^2)+B\cdot f(x_0)\\ &\phantom{=}{}+C\cdot (f(x_0)+f'(x_0)h+\tfrac{1}{2}f''(x_0)h^2) + O(h^3)\\ \\ &= (A+B+C)f(x_0)+(C-A)f'(x_0)h+\tfrac{1}{2}(A+C)f''(x_0)h^2+O(h^3)\end{aligned}\] De vergelijkingen waaraan \(A, B, C\) moeten voldoen opdat voor \(Q(h)\) de orde van de fout maximaal is, zijn \[A+B+C = 0,\quad (C-A) = 0,\quad \tfrac{1}{2}(A+C)h^2 = 1\] Deze vergelijkingen zijn eenvoudig op te lossen: \[A=\frac{1}{h^2}, B=-\frac{2}{h^2}, C=\frac{1}{h^2}\] Dus hebben we nu gevonden \[Q(h)=\frac{f(x_0+h)-2f(x_0)+f(x_0-h)}{h^2}\] en \[f''(x_0)\approx\frac{f(x_0+h)-2f(x_0)+f(x_0-h)}{h^2}\] Dit is dus gelijk aan de eerder gevonden centrale differentieformule voor de tweede afgeleide. Na te gaan is dat de afbreekfout in de orde van \(h^4\) is.
Eenzijdige 3-punts formules Linkszijdige 3-punts differentieformule: \[f''(x_0)\approx\frac{f(x_0)-2f(x_0+h)+f(x_0+2h)}{h^2}\] Rechtszijdige 3-punts differentieformule: \[f''(x_0)\approx\frac{f(x_0)-2f(x_0-h)+f(x_0-2h)}{h^2}\] Deze eenzijdige 3-punts differentieformulies kun je goed gebruiken om tweede afgeleiden te benaderen op de randen van een eindig discreet signaal.
We nemen 3 roosterpunten \(x_0\), \(x_0+h\) en \(x_0+2h\). We definiëren de formule \[Q(h)=A\cdot f(x_0)+B\cdot f(x_0+h)+C\cdot f(x_0+2h)\] en bepalen de Taylor benadering van \(Q(h)\). We weten dat \[\begin{aligned} f(x_0+h) &= f(x_0)+f'(x_0)h+\tfrac{1}{2}f''(x_0)h^2+O(h^3)\\ f(x_0+2h) &= f(x_0)+2f'(x_0)h+\tfrac{1}{2}f''(x_0)(2h)^2+O(h^3)\end{aligned}\] en dus \[\begin{aligned}Q(h) &=A\cdot f(x_0) + B\cdot ( f(x_0)+f'(x_0)h+\tfrac{1}{2}f''(x_0)h^2)\\ &\phantom{=}{}+C\cdot (f(x_0)+2f'(x_0)h+\tfrac{4}{2}f''(x_0)h^2) + O(h^3)\\ \\ &= (A+B+C)f(x_0)+(B+2C)f'(x_0)h+\tfrac{1}{2}(B+4C)f''(x_0)h^2+O(h^3)\end{aligned}\] De vergelijkingen waaraan \(A, B, C\) moeten voldoen opdat voor \(Q(h)\) de orde van de fout maximaal is, zijn \[A+B+C = 0,\quad B+2C = 0,\quad \tfrac{1}{2}(B+4C)h^2 = 1\] Deze vergelijkingen zijn eenvoudig op te lossen: \[A=\frac{1}{h^2}, B=-\frac{2}{h^2}, C=\frac{1}{h^2}\] Dus hebben we nu gevonden \[Q(h)=\frac{f(x_0)-2f(x_0+h)+f(x_0+2h)}{h^2}\] en \[f''(x_0)\approx\frac{f(x_0)-2f(x_0+h)+f(x_0+2h)}{h^2}\] Dit is een linkszijdige 3-punts differentieformule. Op soortgelijke wijze kun je ook de rechtszijdige 3-punts differentieformule vinden: \[f''(x_0)\approx\frac{f(x_0)-2f(x_0-h)+f(x_0-2h)}{h^2}\]
De 5-punts centrale differentieformule \[f''(x_0)\approx\frac{-f(x_0-2h)+16f(x_0-h)-30f(x_0)+16f(x_0+h)-f(x_0+2h)}{12h^2}\] De afbreekfout is in het algemeen kleiner dan bij de centrale 3-punts differentieformule.
We nemen 5 roosterpunten \(x_0-2h\), \(x_0-h\), \(x_0\), \(x_0+h\) en \(x_0+2h\). We definiëren de formule \[\begin{aligned}Q(h)&=A\cdot f(x_0-2h)+B\cdot f(x_0-h)+C\cdot f(x_0)\\ &\phantom{=}{}+ D\cdot f(x_0+h)+E\cdot f(x_0+2h)\end{aligned} \] en bepalen de Taylor benadering van \(Q(h)\). Er geldt \[\begin{aligned} f(x_0-2h) &= f(x_0)-2f'(x_0)h+2f''(x_0)h^2-\tfrac{4}{3}f'''(x_0)h^3+\tfrac{2}{3}f''''(x_0)h^4+O(h^5)\\ f(x_0-h) &= f(x_0)-f'(x_0)h+\tfrac{1}{2}f''(x_0)h^2-\tfrac{1}{6}f'''(x_0)h^3+\tfrac{1}{24}f''''(x_0)h^4+O(h^5)\\ f(x_0+h) &= f(x_0)+f'(x_0)h+\tfrac{1}{2}f''(x_0)h^2+\tfrac{1}{6}f'''(x_0)h^3+\tfrac{1}{24}f''''(x_0)h^4+O(h^5)\\ f(x_0+2h) &= f(x_0)+2f'(x_0)h+2f''(x_0)h^2+\tfrac{4}{3}f'''(x_0)h^3+\tfrac{2}{3}f''''(x_0)h^4+O(h^5)\end{aligned}\] en dus \[\begin{aligned}Q(h) &= (A+B+C+D+E)f(x_0)+(-2A-B+D+2E)f'(x_0)h\\&\phantom{=}{}+\tfrac{1}{2}(4A+B+D+4E)f''(x_0)h^2+\tfrac{1}{6}(-8A-B+D+8E)f'''(x_0)h^3\\&\phantom{=}{}+\tfrac{1}{24}(16A+B+D+16E)f''''(x_0)h^4+O(h^5)\end{aligned}\] De vergelijkingen waaraan \(A, B, C, D, E\) moeten voldoen opdat voor \(Q(h)\) de orde van de fout maximaal is, zijn \[\begin{aligned}A+B+C +D+\;\;E&= 0\\ -2A-B+\phantom{+C}D+\;2E &= 0\\ 4A+B+\phantom{+C}D+\;4E &= \frac{2}{h^2}\\ -8A-B+\phantom{+C}D+\;8E &= 0\\ 16A+B+\phantom{+C}D+16E &= 0\end{aligned}\] Deze vergelijkingen zijn betrekkelijk eenvoudig op te lossen: \[A=-\frac{1}{12h^2}, B=\frac{4}{3h^2}, C=-\frac{5}{2h^2}, D=\frac{4}{3h^2}, E=-\frac{1}{12h^2}\] Dus hebben we nu gevonden \[Q(h)=\frac{-f(x_0-2h)+16f(x_0-h)-30f(x_0)+16f(x_0+h)-f(x_0+2h)}{12h^2}\] en \[f''(x_0)\approx\frac{-f(x_0-2h)+16f(x_0-h)-30f(x_0)+16f(x_0+h)-f(x_0+2h)}{12h^2}\] Dit is de 5-punts centrale differentieformule.
