Algemene differentieformules voor de tweede afgeleide

Numeriek differentiëren: Differentieformules voor de tweede afgeleide

Algemene differentieformules voor de tweede afgeleide

De algemene aanpak bij $n+1$ verschillende roosterpunten $x_0, x_1, \ldots x_n$ , die een veelvoud van stapgrootte $h$ van elkaar verschillen, is om coëfficiënten $c_0, c_1, \ldots, c_n$ te vinden zodanig dat de uitdrukking

$Q(h)\stackrel{\mathrm{def}}{=}\sum_{i=0}^n c_if(x_i)$ de tweede afgeleide $f''(x_0)$ benadert met een zo groot mogelijke orde van de afbreekfout. De coëfficiënten $c_0, c_1, \ldots, c_n$ vinden we door elke $f(x_i)$ in een Taylorpolynoom rondom $x_0$ van voldoende hoge graad te ontwikkelen en dan vergelijkingen voor de onbekende $c_i$ 's op te stellen en op te lossen.

We nemen 3 roosterpunten $x_0-h$ , $x_0$ en $x_0+h$ . We definiëren de formule

$Q(h)=A\cdot f(x_0-h)+B\cdot f(x_0)+C\cdot f(x_0+h)$ en bepalen de Taylor benadering van $Q(h)$ . We weten dat

$\begin{aligned} f(x_0-h) &= f(x_0)-f'(x_0)h+\tfrac{1}{2}f''(x_0)h^2+O(h^3)\\ f(x_0+h) &= f(x_0)+f'(x_0)h+\tfrac{1}{2}f''(x_0)h^2+O(h^3)\end{aligned}$ en dus

$\begin{aligned}Q(h) &= A\cdot ( f(x_0)-f'(x_0)h+\tfrac{1}{2}f''(x_0)h^2)+B\cdot f(x_0)\\ &\phantom{=}{}+C\cdot (f(x_0)+f'(x_0)h+\tfrac{1}{2}f''(x_0)h^2) + O(h^3)\\ \\ &= (A+B+C)f(x_0)+(C-A)f'(x_0)h+\tfrac{1}{2}(A+C)f''(x_0)h^2+O(h^3)\end{aligned}$ De vergelijkingen waaraan $A, B, C$ moeten voldoen opdat voor $Q(h)$ de orde van de fout maximaal is, zijn

$A+B+C = 0,\quad (C-A) = 0,\quad \tfrac{1}{2}(A+C)h^2 = 1$ Deze vergelijkingen zijn eenvoudig op te lossen:

$A=\frac{1}{h^2}, B=-\frac{2}{h^2}, C=\frac{1}{h^2}$ Dus hebben we nu gevonden

$Q(h)=\frac{f(x_0+h)-2f(x_0)+f(x_0-h)}{h^2}$ en

$f''(x_0)\approx\frac{f(x_0+h)-2f(x_0)+f(x_0-h)}{h^2}$ Dit is dus gelijk aan de eerder gevonden centrale differentieformule voor de tweede afgeleide. Na te gaan is dat de afbreekfout in de orde van $h^4$ is.

Eenzijdige 3-punts formules Linkszijdige 3-punts differentieformule:

$f''(x_0)\approx\frac{f(x_0)-2f(x_0+h)+f(x_0+2h)}{h^2}$ Rechtszijdige 3-punts differentieformule:

$f''(x_0)\approx\frac{f(x_0)-2f(x_0-h)+f(x_0-2h)}{h^2}$ Deze eenzijdige 3-punts differentieformulies kun je goed gebruiken om tweede afgeleiden te benaderen op de randen van een eindig discreet signaal.

We nemen 3 roosterpunten $x_0$ , $x_0+h$ en $x_0+2h$ . We definiëren de formule

$Q(h)=A\cdot f(x_0)+B\cdot f(x_0+h)+C\cdot f(x_0+2h)$ en bepalen de Taylor benadering van $Q(h)$ . We weten dat

$\begin{aligned} f(x_0+h) &= f(x_0)+f'(x_0)h+\tfrac{1}{2}f''(x_0)h^2+O(h^3)\\ f(x_0+2h) &= f(x_0)+2f'(x_0)h+\tfrac{1}{2}f''(x_0)(2h)^2+O(h^3)\end{aligned}$ en dus

$\begin{aligned}Q(h) &=A\cdot f(x_0) + B\cdot ( f(x_0)+f'(x_0)h+\tfrac{1}{2}f''(x_0)h^2)\\ &\phantom{=}{}+C\cdot (f(x_0)+2f'(x_0)h+\tfrac{4}{2}f''(x_0)h^2) + O(h^3)\\ \\ &= (A+B+C)f(x_0)+(B+2C)f'(x_0)h+\tfrac{1}{2}(B+4C)f''(x_0)h^2+O(h^3)\end{aligned}$ De vergelijkingen waaraan $A, B, C$ moeten voldoen opdat voor $Q(h)$ de orde van de fout maximaal is, zijn

$A+B+C = 0,\quad B+2C = 0,\quad \tfrac{1}{2}(B+4C)h^2 = 1$ Deze vergelijkingen zijn eenvoudig op te lossen:

$A=\frac{1}{h^2}, B=-\frac{2}{h^2}, C=\frac{1}{h^2}$ Dus hebben we nu gevonden

$Q(h)=\frac{f(x_0)-2f(x_0+h)+f(x_0+2h)}{h^2}$ en

$f''(x_0)\approx\frac{f(x_0)-2f(x_0+h)+f(x_0+2h)}{h^2}$ Dit is een linkszijdige 3-punts differentieformule. Op soortgelijke wijze kun je ook de rechtszijdige 3-punts differentieformule vinden:

$f''(x_0)\approx\frac{f(x_0)-2f(x_0-h)+f(x_0-2h)}{h^2}$

De 5-punts centrale differentieformule

$f''(x_0)\approx\frac{-f(x_0-2h)+16f(x_0-h)-30f(x_0)+16f(x_0+h)-f(x_0+2h)}{12h^2}$ De afbreekfout is in het algemeen kleiner dan bij de centrale 3-punts differentieformule.

We nemen 5 roosterpunten $x_0-2h$ , $x_0-h$ , $x_0$ , $x_0+h$ en $x_0+2h$ . We definiëren de formule

$\begin{aligned}Q(h)&=A\cdot f(x_0-2h)+B\cdot f(x_0-h)+C\cdot f(x_0)\\ &\phantom{=}{}+ D\cdot f(x_0+h)+E\cdot f(x_0+2h)\end{aligned}$ en bepalen de Taylor benadering van $Q(h)$ . Er geldt

$\begin{aligned} f(x_0-2h) &= f(x_0)-2f'(x_0)h+2f''(x_0)h^2-\tfrac{4}{3}f'''(x_0)h^3+\tfrac{2}{3}f''''(x_0)h^4+O(h^5)\\ f(x_0-h) &= f(x_0)-f'(x_0)h+\tfrac{1}{2}f''(x_0)h^2-\tfrac{1}{6}f'''(x_0)h^3+\tfrac{1}{24}f''''(x_0)h^4+O(h^5)\\ f(x_0+h) &= f(x_0)+f'(x_0)h+\tfrac{1}{2}f''(x_0)h^2+\tfrac{1}{6}f'''(x_0)h^3+\tfrac{1}{24}f''''(x_0)h^4+O(h^5)\\ f(x_0+2h) &= f(x_0)+2f'(x_0)h+2f''(x_0)h^2+\tfrac{4}{3}f'''(x_0)h^3+\tfrac{2}{3}f''''(x_0)h^4+O(h^5)\end{aligned}$ en dus

$\begin{aligned}Q(h) &= (A+B+C+D+E)f(x_0)+(-2A-B+D+2E)f'(x_0)h\\&\phantom{=}{}+\tfrac{1}{2}(4A+B+D+4E)f''(x_0)h^2+\tfrac{1}{6}(-8A-B+D+8E)f'''(x_0)h^3\\&\phantom{=}{}+\tfrac{1}{24}(16A+B+D+16E)f''''(x_0)h^4+O(h^5)\end{aligned}$ De vergelijkingen waaraan $A, B, C, D, E$ moeten voldoen opdat voor $Q(h)$ de orde van de fout maximaal is, zijn

$\begin{aligned}A+B+C +D+\;\;E&= 0\\ -2A-B+\phantom{+C}D+\;2E &= 0\\ 4A+B+\phantom{+C}D+\;4E &= \frac{2}{h^2}\\ -8A-B+\phantom{+C}D+\;8E &= 0\\ 16A+B+\phantom{+C}D+16E &= 0\end{aligned}$ Deze vergelijkingen zijn betrekkelijk eenvoudig op te lossen:

$A=-\frac{1}{12h^2}, B=\frac{4}{3h^2}, C=-\frac{5}{2h^2}, D=\frac{4}{3h^2}, E=-\frac{1}{12h^2}$ Dus hebben we nu gevonden

$Q(h)=\frac{-f(x_0-2h)+16f(x_0-h)-30f(x_0)+16f(x_0+h)-f(x_0+2h)}{12h^2}$ en

$f''(x_0)\approx\frac{-f(x_0-2h)+16f(x_0-h)-30f(x_0)+16f(x_0+h)-f(x_0+2h)}{12h^2}$ Dit is de 5-punts centrale differentieformule.