Stabiliteit van een dekpunt

Functie-iteratie: Gedrag van functie-iteratie in de buurt van een dekpunt

Stabiliteit van een dekpunt

We hebben al een voorbeeld van functie-iteratie gezien waarin dekpunten zowel aantrekkend als afstotend waren. Het zou fijn zijn we als over het gedrag bij een start van een functie-iteratie in de buurt van een dekpunt vooraf al weten of dit aantrekkend dan wel afstotend is. De volgende stelling doet hier een uitspraak over.

Stel dat de functie $f$ een continue afgeleide heeft. Bij iteratie van de functie $f$ met dekpunt $s$ geldt dan het volgende:

Als $|f'(s)|<1$ , dan is het dekpunt $s$ aantrekkend.

Als $|f'(s)|>1$ , dan is het dekpunt $s$ afstotend.

Voor de liefhebber bewijzen de eerste bewering.

Stel $s$ is een dekpunt van $f$ met $|f'(s)|<1$ . Vanwege de continuïteit van de afgeleide functie geldt dat er een getal $M<1$ is en een voldoende klein interval $I$ rondom $s$ zodanig dat $f'(x)|<M<1$ voor alle punten in $I$ . We kiezen een startpunt $x_0$ in $I$ . Voor elke iterand $x_k$ kunnen we de stelling van Taylor toepassen rondom $s$ toepassen: er bestaat een getal $\xi$ tussen $s$ en $x_k$ zodanig dat $f(x_k)=f(s)+f'((\xi)(x_k-s)$ oftewel $x_{k+1}-s=f'((\xi)(x_k-s)$ Als het punt $x_k$ in $I$ ligt, dan ligt $\xi$ ook per definitie in $I$ en geldt dus $|f'(\xi)|<M<1$ . Maar dan geldt dus $\frac{|x_{k+1}-s|}{|x_k-s|}=f'(\xi)<M<1$ Voor willekeurige $x_n$ volgt hieruit dat $\frac{|x_{n}-s|}{|x_0-s|}=\frac{|x_{n}-s|}{|x_{n-1}-s|}\cdot \frac{|x_{n-1}-s|}{|x_{n-2}-s|}\cdots \frac{|x_1-s|}{|x_0-s|}<M^n$ Maar dit betekent dat $|x_n-s| \rightarrow 0,\mathrm{\;als\;}n\rightarrow \infty\tiny.$ Met andere woorden, het dekpunt is onder de gegeven voorwaarde aantrekkend.

De tweede bewering in de stelling is op gelijksoortige wijze te bewijzen.

We bekijken de veelterm $x^2-5x+6=(x-2)(x-3)$ met nulpunten $2$ en $3$ .

We kunnen de vergelijking $x^2-5x+6=0$ herschrijven als $x=x^2-4x+6$ en dus de iteratie van de functie $f_1(x)=x^2-4x+6$ bekijken. Dan geldt dat $f_1'(2)=0<1$ en dus is het dekpunt $2$ aantrekkend, maar de startwaarde moet wel tussen $1$ en $3$ gekozen worden voor convergentie. In dit geval is $f_1'(3)=2>1$ en is $3$ dus een afstotend dekpunt.

We kunnen de vergelijking $x^2-5x+6=0$ ook herschrijven als $x=\frac{1}{5}x^2+\frac{6}{5}$ en dus de iteratie van de functie $f_2(x)=\frac{1}{5}x^2+\frac{6}{5}$ bekijken. Dan geldt dat $f_2'(2)=\frac{4}{5}<1$ en dus is opnieuw het dekpunt $2$ aantrekkend, zij het met een trager convergentiegedrag dan bij de vorige iteratie-functie. Ook nu geldt weer dat $f_2'(3)=\frac{6}{5}>1$ en $3$ dus een afstotend dekpunt is.

Als derde alternatief kunnen we de vergelijking $x^2-5x+6=0$ herschrijven als $x=\frac{5x-6}{x}=5-\frac{6}{x}$ en dus de iteratie-functie $f_3(x)=5-\frac{6}{x}$ bekijken. Dan geldt dat $f_3'(2)=\frac{3}{2}$ en dus is het dekpunt $2$ afstotend. In dit geval is $f_3'(3)=\frac{2}{3}<1$ en is $3$ een aantrekkend dekpunt

We zien dus dat het gedrag van de iteratie in de buurt van de dekpunten afhangt van de gekozen functie.

Maar er zijn veel meer functies te bedenken voor iteratie. Voor een willekeurig getal $k$ kunnen we de vergelijking $x^2-5x+6=0$ herschrijven als $x+k\cdot(x^2-5x+6) = x$ en dus de iteratie-functie $f(x)=x+k\cdot(x^2-5x+6)$ bekijken voor verschillende waarden van $k$ . Dan geldt dat $f'(x)=1+2kx-5k$ . Voor optimale convergentie in de dekpunten hebben we het liefst een keuze van $k$ zodat $f'(s)=0$ . Zijn we geïnteresseerd in het dekpunt $2$ dan is de beste keuze $k=1$ en zijn we terug bij de functie $f_1$ . In het geval van dekpunt $3$ is de beste keuze $k=-1$ . Dan is de iteratie-functie gelijk aan $f_4(x)=-x^2+6x-6$ , maar dan moet je voor convergentie naar het dekpunt $3$ wel een startwaarde tussen $2$ en $4$ nemen.