In deze opdracht bekijken we de veelterm \(x^3+3x-4\).
Deze veelterm heeft een uniek nulpunt, namelijk \(x=1\), en is te herschrijven als \(\bigl(x-1\bigr)\bigl(x^2+x+4\bigr)=\bigl(x-1\bigr)\bigl((x+\tfrac{1}{2})^2+3\!\tfrac{3}{4}\bigr)\).

Het nulpunt van de veelterm is te benaderen via functie-iteratie. In deze opdracht bestuderen we experimenteel het convergentiegedrag van verschillende functies waarvan \(x=1\) het dekpunt is.

Opdracht

Schrijf een computerprogramma voor functie-iteratie en gebruik onderstaande functies: \[\begin{aligned} f_1(x) &=\frac{4-x^3}{3x}\\ \\
f_2(x) &= \frac{4-3x}{x^2}\\ \\ f_3(x) &= x^3+4x-4\\ \\ f_4(x) &= x-\frac{1}{6}(x^3+3x-4)\\ \\ f_5(x) &= \frac{2x^3+4}{3x^2+3}\end{aligned}\] Voer voor elk van deze functies experimenten uit om het nulpunt van \(x^3+3x-4\) te benaderen. Varieer hierin de tolerantie en ga na hoeveel iteraties dan nodig zijn (let op: soms is er geen convergentie!).
Experimenteer ook met een paar verschillende startwaarden \(x_0\). Noteer onderweg alle bijzonderheden die je tegenkomt (over convergentie, snelheid van convergentie, afhankelijkheid van de startwaarde, etc.) en ga na dat de waarde van de afgeleide \(f_k'(1)\) de overheersende factor in alle experimenten is.