Van natuurlijke taal naar propositionele notatie In de eerste voorbeelden van redeneren in het dagelijks leven hebben we al gezien dat er naast een natuurlijke taal ook een meer formele taal mogelijk is om patronen van redeneringen te beschrijven. Hierin worden letters zoals \(p\), \(q\), \(r\) en \(s\) gebruikt op proposities te symboliseren; ze heten de propositieletters of propositievariabelen. We gebruiken deze letters met name voor proposities die we niet nader willen analyseren of die niet meer uitgedrukt kunnen worden in kleinere proposities; we spreken van enkelvoudige proposities ofwel atomaire proposities. Een voorbeeldzin is "Jantje huilt." De propositie "Jantje heeft pijn en hij huilt" is een meervoudige propositie ofwel samengestelde propositie, die bestaat uit twee deelproposities "Jantje heeft pijn" en "Hij huilt." Het verbindingswoord "en" is een voorbeeld van een logische operator of connectief.

Connectieven In de propositielogica worden de volgende connectieven gebruikt om proposities samen te stellen: \[\begin{array}{lll} \hline \textit{logisch symbool} & \textit{in natuurlijke taal} & \textit{technische naam} \\ \hline \neg & \text{niet} & \text{negatie}\\ \land & \text{en} & \text{conjunctie}\\ \lor & \text{of} & \text{disjunctie}\\ \leftarrow & \text{als }\ldots\text{ dan} & \text{implicatie}\\ \leftrightarrow & \text{dan en slechts dan als} & \text{equivalentie}\\ \hline \end{array}\]

Alfabet Een alfabet van de propositielogica bestaat uit

• een verzameling propositievariabelen;
• logische symbolen: \(\neg\), \(\land\), \(\lor\), \(\rightarrow\), \(\leftrightarrow\);
• hulpsymbolen: de haakjes \((\) en \()\).

Met symbolen uit het alfabet kunnen we nu met behulp van vaste regels samengestelde uitdrukkingen in de propositielogica maken. Dit worden logische formules of kortweg formules genoemd. In het algemeen gebruiken we kleine Griekse letters als variabelen om formules aan te duiden.

\(\phantom{x}\)

Waarheidswaarde, waardering van een formule en waarheidstabel Kenmerkend voor een propositie is dat het een zinvolle mededelende volzin is, die al dan niet waar is. De waarheidswaarde van een propositie is waar, aangeduid \(1\), als het een ware bewering is; de waarheidswaarde van een propositie is onwaar, aangeduid \(0\), als het onware bewering is. Soms weten we nog niet of een propositievariabele waar is; dan laten we het in het midden of wachten we op meer informatie.

Om de semantiek (d.w.z. de betekenis) van een formule te definiëren, hebben we het begrip waardering, ook we valuatie genoemd, nodig. Dit is een functie die aan alle propositievariabelen een waarheidswaarde (waar of onwaar) toekent. Op basis van de waarheidswaarden van de propositievariabelen die in een formule voorkomen, kunnen we dan de waarheidswaarde van de volledige formule bepalen. Als een propostievariabele meerdere keren voorkomt in een formule, met je voor elk voorkomen wel dezelfde waarheidswaarde invullen. Als \(p\) en \(q\) propositievariabelen zijn waarvoor de waardering \(w\) bekend is, dan definiëren we de volgende waarderingen voor de connectieven negatie, conjunctie en disjunctie:

• \(w(\neg\,p)=\left\{\begin{array}{ll} 0 & \text{als }w(p)=1\\ 1 & \text{als } w(p)=0\end{array}\right.\)
  
  
• \(w(p\land q)=\left\{\begin{array}{ll} 1 & \text{als }w(p)=1\text{ en }w(q)=1 \\ 0 & \text{anders}\end{array}\right.\)
  
  
• \(w(p\lor q)=\left\{\begin{array}{ll} 0 & \text{als }w(p)=0\text{ en }w(q)=0 \\ 0 & \text{anders}\end{array}\right.\)

De berekening van de waarheidswaarde van een samengestelde propositie maakt gebruik van de volgende waarheidstabel, die je rij voor rij leest, met achter de verticale streep de waarheidswaarden van de genoemde formules gegeven de waarheidswaarden van de deelformules links voor de verticale streep \[\begin{array}{c|c} \varphi & \neg\,\varphi\\ \hline 0 & 1\\ 1 & 0\end{array}\] \[\begin{array}{cc|cccc} \varphi & \psi & \varphi\land \psi & \varphi\lor \psi & \varphi\rightarrow\psi & \varphi\leftrightarrow\psi\\ \hline 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 1\\ 0 & 1 & 0 & 1 & 1 & 0\\ 1 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0\\ 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 \end{array}\] Merk op dat als \(\psi\) waar is, d.w.z. de waarheidswaarde \(1\) heeft, onder de implicatie \(\varphi\rightarrow \psi\) de waarheidswaarde \(1\) staat ongeacht de waarheidswaarde van \(\varphi\). In natuurlijke taal voelt het raar aan dat wanneer je beweert "ja zeggen impliceert akkoord gaan" dat "akkoord gaan" niet per se betekent dat "ja zeggen" gebeurd is. "Nee zeggen" voelt in deze natuurlijke situatie toch meer aan als "niet akkoord gaan". Maar in de propositielogica volgt uit \(p\rightarrow q\) alleen maar \(\neg \, q\rightarrow \neg\, p\). Het kan niet zo zijn dat \(p\) waar is, maar \(q\) onwaar.

Logische equivalentie Twee logische formules heten (logisch) equivalent wanneer elke waardering van de twee formules identieke resultaten oplevert , d.w.z. wanneer hun waarheidstabellen gelijk zijn aan elkaar.