Het enige connectief dat maar één formule als argument heeft is de negatie: het verwisselt de waarheidswaarden waar en onwaar.
De negatie (ontkenning) van een propositie is het tegenovergestelde van de oorspronkelijke propositie. De ontkenning is waar enkel en alleen als de oorspronkelijke propositie onwaar is, en onwaar ingeval de oorspronkelijke propositie waar is.
Negatie wordt gesymboliseerd door de unaire operator \(\neg\).
Als \(\varphi\) een formule is, dan is \(\neg \,\varphi\) een propositie met tegengestelde waarheidswaarde.
Voorbeeld
De ontkenning van "Het sneeuwt." is "Het is niet het geval dat het sneeuwt." of kortweg "Het sneeuwt niet."
Als "Het sneeuwt." waar is, dan is de ontkenning "Het sneeuwt niet." onwaar.
Propositionele notatie: \(\neg\,\text{"Het sneeuwt."}\)
Om een logische formule mogen haakjes geplaatst worden: \(\neg\,\varphi\) en \(\neg(\varphi)\) zijn formules met dezelfde betekenis.
De dubbele ontkenning van een formule \(\varphi\), aangeduid \(\neg\neg\,\varphi\), heeft altijd dezelfde waarheidswaarden als de oorspronkelijke formule \(\varphi\). Deze formules zijn logisch equivalent.
De samengestelde propositie "Het sneeuwt." of "Het sneeuwt niet." is een bewering die altijd waar is in de klassieke propositielogica zoals wij in dit hoofdstuk behandelen, maar niet in de intuïtionistische propositielogica. Elke waardering heeft de waarde 1 (waar). Dit noemen we een tautologie. Dit voorbeeld past bij de wet van de uitgesloten derde. Met de uitspraak "Het kan vriezen of het kan dooien" zit je altijd goed!
De samengestelde propositie "Het sneeuwt." en "Het sneeuwt niet." is een bewering die altijd onwaar is. Elke waardering heeft de waarde 0 (onwaar); het is een onvervulbare propositie, onder het brede publiek beter bekend onder de namen tegenspraak en contradictie.
Bij elke formule \(\varphi\) is onderstaande waarheidstabel toepasbaar: \[\begin{array}{c|c} \varphi & \neg\,\varphi\\ \hline 0 & 1\\ 1 & 0\end{array}\]
De rest van de connectieven hebben twee argumenten. We bespreken de logische operator "en" en "of". De eerste tekenen van ambiguïteit in natuurlijke taal komen tevoorschijn.
De conjunctie van twee proposities is een propositie die waar is precies wanneer beide originele proposities waar zijn.
In alle andere gevallen is de conjunctie onwaar.
Conjunctie wordt gesymboliseerd door de infix operator \(\land\), welke staat voor het voegwoord "en" in natuurlijke taal.
Als \(\varphi\) en \(\psi\) formules zijn, dan symboliseert \(\varphi\land \psi\) hun conjunctie.
Voorbeeld
"Het sneeuwt en de weg is glad " is waar als zowel "Het sneeuwt." als "De weg is glad" ware beweringen zijn.
Als één van beide uitspraken onwaar is, dan is de samengestelde uitspraak ook onwaar.
In natuurlijke taal gebruiken we soms niet het woord "en" bij een conjunctie. Bijvoorbeeld, de zin "De zon schijnt, maar het regent." is min of meer een andere formulering van "De zon schijnt en het regent." Subtiele verschillen in natuurlijke taal vegen we dan wel onder het tapijt.
Soms laat je het voegwoord wel eens weg: In de volzin "Rood, groen en blauw zijn primaire kleuren." gebruik je "en" met drie argumenten of bedoel je stilzwijgend "Rood is een primaire kleur" en "Groen is een primaire kleur" en "Blauw is een primaire kleur".
Iets van natuurlijke taal in propositionele notatie omzetten is minder gemakkelijk dan je op het eerste gezicht denkt. Als je bijvoorbeeld de volgende uitspraak doet "Ik lus geen koffie en thee.", dan bedoel je dat je beide dranken niet lust. Het moet dus begrepen worden als "Ik lus geen koffie en ik lus geen thee." Hetzelfde bedoel je met de uitspraak "Koffie en thee lust ik niet.". Als \(k\) en \(t\) respectievelijk "Ik lus geen koffie." en "Ik lus geen thee." symboliseren, dan worden "Ik lus geen koffie en thee." en "Koffie en thee lust ik niet." getranscribeerd tot \(\neg\,k\land\neg\,t\), maar niet door een meer letterlijke transcriptie omgezet in \(\neg(k\land t)\).
Soms moet je haakjes gebruiken op precies aan te geven wat de bedoeling is. Bijvoorbeeld, \(\neg \varphi\land \psi\) betekent volgens afspraak eerste de negatie van \(\varphi\) uitvoeren en daarna de conjunctie van dit tussenresultaat met \(\psi\). De formule \(\neg(\varphi\land \psi)\) betekent daarentegen eerste de conjunctie van \(\varphi\) en \(\psi\) uitvoeren en daarna de negatie van dit tussenresultaat..
Als \(\varphi\) en \(\psi\) logische formules zijn, dan is onderstaande waarheidstabel toepasbaar: \[\begin{array}{cc|c} \varphi & \psi & \varphi\land \psi \\ \hline 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0\\ 1 & 1 & 1 \end{array}\]
De disjunctie van twee proposities is een propositie die waar is precies wanneer ten minste één van beide originele proposities waar is. Alleen als beide originele proposities onwaar zijn is de disjunctie onwaar. Dus ook als beide originele proposities waar zijn is hun disjunctie waar. Dit heet de inclusieve disjunctie.
Conjunctie wordt gesymboliseerd door de infix operator \(\lor\),
welke staat voor het voegwoord "en/of" in natuurlijke taal, maar waarvan meestal alleen de "of" gezegd wordt.
Als \(\varphi\) en \(\psi\) formules zijn, dan symboliseert \(\varphi\lor \psi\) hun disjunctie.
Voorbeeld
"Je krijgt koffie of thee." is waar als je ten minste één van de genoemde consumpties krijgt. De uitspraak is dus ook waar als je beide consumpties krijgt.
"Je reist per trein of metro." is waar als je ten minste één van de genoemde transportmogelijkheden gebruikt. De uitspraak is dus ook waar als je beide transportmogelijkheden krijgt. De uitspraak is onwaar als je geen van de genoemde vervoersmogelijkheden gebruikt. Ook al zeg je "Je reist per trein of metro.", een preciezere formulering is "Je reist per trein en/of per metro."
Bekijk de disjunctie "Je reist tussen Duivendrecht en Amsterdam-Bijlmer per trein, bus of metro". Twee zaken vallen in deze volzin op:
- Bij een opsomming laat je wel eens een voegwoord "of" weg. Je kan dit zien als het gebruik van "of" met drie argumenten.
- Als je de situatie beter kent dan is het duidelijk dat je enkel met één van de vervoersmogelijkheden kunt reizen; Tussendoor kun je op het traject niet meer van vervoersmiddel wisselen.
In het tweede geval is er sprake van exclusieve disjunctie: de ene mogelijkheid sluit de andere uit. In propositionele notatie symboliseert meestal \(\oplus\) de exclusieve disjunctie. De formule \(\phi \oplus \psi\) is dus waar als precies één van de deelformules waar is; de formule is onwaar als beide deelformules waar zijn. In natuurlijke taal kun je de exclusie disjunctie aangeven met "of ... of ...". In ons voorbeeld had je preciezer kunnen zijn door te zeggen "Je reist tussen Duivendrecht en Amsterdam-Bijlmer of per trein of per bus of per metro."
Strikt genomen heb je voor exclusieve disjunctie geen nieuw symbool nodig: ga zelf na dat \(\phi \oplus \psi\) en \((\phi \lor \psi) \land \neg(\phi \land \psi)\) logisch equivalente formules zijn.
Nog een voorbeeld die in de natuurlijke taal een exclusieve disjunctie impliceert: "Henk gebruikt al zijn geld om een auto te kopen of een wereldreis te maken". Henk kan niet al zijn geld inzetten op twee verschillende zaken; het is het een of het ander.
Als \(\varphi\) en \(\psi\) logische formules zijn, dan is onderstaande waarheidstabel toepasbaar voor de inclusieve disjunctie \(\lor\) en de exclusieve \(\oplus\) disjunctie.: \[\begin{array}{cc|cc} \varphi & \psi & \varphi\lor\psi &\varphi\oplus\psi\\ \hline 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 & 1\\ 1 & 1 & 1 & 0 \end{array}\]
Negatie, conjunctie en disjunctie
