Causaliteit Een Implicatie is een uiting van causaliteit. De waarheid van de linkerkant van de propositie $\varphi\rightarrow \psi$ betekent ook dat rechterkant waar is. In een causaal verband kan de rechterkant nog waar of onwaar zijn als de linkerkant onwaar is. Dit is de reden dat de waarheidswaarde van $\varphi\rightarrow \psi$ gedefinieerd wordt als waar in het geval $\varphi$ onwaar is.

Natuurlijke taal We hebben al een paar keer opgemerkt dat in natuurlijke taal de propositie "Als $p$, dan $q$" vaak wordt geïnterpreteerd als een causaal verband waardoor $q$ waar is omdat $p$ waar is. Maar in de klassieke logica hoeft dit niet het geval te zijn. We kunnen alleen de volgende twee gevolgtrekkingen maken:

1. (Modus ponens) Uit $p$ en $p\rightarrow q$ volgt $q$.
2. (Modus tollens) Uit $\neg\,q$ en $p\rightarrow q$ volgt $\neg p$.

Computertaal De if-then constructie in de meeste programmeertalen verschilt van de als-dan constructie in propositielogica. In de meeste programmeertalen bestaat de code "if condition then statement" in de betekenis van "als aan de conditie voldaan is, voer dan de code uit en anders niet". Zodra aan de conditie niet voldaan is wordt de code in het then-gedeelte niet meer uitgevoerd.

Omgekeerde pijl Als je de propositionele notatie zo dicht mogelijk bij de natuurlijke taal wilt houden, dan is een omgekeerd pijlnotatie evident. De zin "Marthe blijft thuis als ze ziek is." wordt dan getranscribeerd naar $q\leftarrow p$ met $p=\text{"Ze is ziek."}$ en $p=\text{"Marthe blijft thuis"}$

Notatie Je komt in praktijk ook de implicatiepijl $\implies$ i.p.v. $\rightarrow$ tegen om een "als ... dan ..." uitspraak in de logica te doen. Ook al worden ze vaak door elkaar gebruikt, toch is er een subtiel verschil. Bij $\varphi\rightarrow\psi$ hangt de waarheid enkel en alleen af van de waarheidswaarden van $\varphi$ en $\psi$; de definitie van de implicatiepijl $\rightarrow$ wordt via een waarheidstabel gedefinieerd. Het symbool $\implies$ is eigenlijk bedoeld als implicatiesymbool in de meta-taal waarin we over logische formules praten. Een voorbeeld moge dit subtiele onderscheid duidelijker maken.

Stel dat $\varphi$ een formule is waarin alleen de connectieven $\neg$, $\land$ en $\lor$ voor komen. Dan wordt de duale formule $\varphi^{\mathrm{d}}$ gedefinieerd as de formule die ontstaat door elk voorkomen van $\land$ in $\varphi$ te vervangen door $\lor$ en elk voorkomen van $\lor$ in $\varphi$ te vervangen door $\land$. Stel nu dat $\varphi$ en $\psi$ equivalente formules zijn waarin alleen de connectieven $\neg$, $\land$ en $\lor$ voor komen. Hieruit mogen we dan concluderen dat $\varphi^{\mathrm{d}}$ en $psi^{\mathrm{d}}$ ook logisch equivalent zijn. Dit is een bewering over logische formules die niet helemaal binnen het systeem van de propositielogica valt. We noteren dit daarom met een ander symbool:

Waarheidstabel Als $\varphi$ en $\psi$ logische formules zijn, dan is onderstaande waarheidstabel toepasbaar:

Natuurlijke taal In gewone taal vervaagt vaak het onderscheid tussen implicatie en equivalentie. Als een moeder tegen haar kind zegt "Als je je bord leeg eet, dan krijg je een toetje." dan bedoelt ze meestal impliciet dat haar kind enkel en alleen een toetje krijgt als het zijn of haar bord leeg eet. Als haar kind een toetje krijgt, dan heeft het zijn of haar bord leeg gegeten, ook al staat dat niet expliciet in de uitspraak van de moeder.

Notatie Je komt in praktijk ook de dubbele implicatiepijl $\iff$ i.p.v. $\leftrightarrow$ tegen om een "dan en slechts dan" uitspraak in de logica te doen. Ook al worden ze vaak door elkaar gebruikt, toch is er een subtiel verschil. Bij $\varphi\leftrightarrow\psi$ hangt de waarheid enkel en alleen af van de waarheidswaarden van $\varphi$ en $\psi$; de definitie van de equivalentiepijl $\leftrightarrow$ wordt via een waarheidstabel gedefinieerd. Het symbool $\iff$ is eigenlijk bedoeld als equivalentiesymbool in de meta-taal waarin we over logische formules praten. Een voorbeeld moge dit subtiele onderscheid duidelijker maken.

Stel dat $\varphi$ een formule is waarin alleen de connectieven $\neg$, $\land$ en $\lor$ voor komen. Dan wordt de duale formule $\varphi^{\mathrm{d}}$ gedefinieerd as de formule die ontstaat door elk voorkomen van $\land$ in $\varphi$ te vervangen door $\lor$ en elk voorkomen van $\lor$ in $\varphi$ te vervangen door $\land$. Stel nu dat $\varphi$ en $\psi$ equivalente formules zijn waarin alleen de connectieven $\neg$, $\land$ en $\lor$ voor komen. Hieruit mogen we dan concluderen dat $\varphi^{\mathrm{d}}$ en $\psi^{\mathrm{d}}$ ook logisch equivalent zijn, en omgekeerd. Dit is een bewering over logische formules die niet helemaal binnen het systeem van de propositielogica valt. We noteren dit daarom met een ander symbool:

Waarheidstabel Als $\varphi$ en $\psi$ logische formules zijn, dan is onderstaande waarheidstabel toepasbaar: