Implicatie-redeneerregels: pen-en-papier opdrachten (4 opdrachten)

Propositielogica: Natuurlijke deductie

Implicatie-redeneerregels: pen-en-papier opdrachten (4 opdrachten)

Maak eerst elke opdracht zelf en vergelijk daarna pas jouw antwoord met de uitwerking.

Toon aan dat $p\vdash (p\rightarrow q) \rightarrow q$ .

Uitwerking uitwerking opdracht 1

De formule die je moet afleiden is de implicatie $p\vdash (p\rightarrow q) \rightarrow q$ . Daarom moet je na de premisse in regel 1 in regel 2 de hypothese $p\rightarrow q$ plaatsen. De eerste twee regels maken de toepassing van de redeneerstap Modus Ponens in regel 3 mogelijk. Het deelbewijs in regels 2 en 3 levert dan de implicatie formule in regel 4 op.

Toon aan dat $\vdash p\rightarrow\bigl((p\rightarrow q) \rightarrow q\bigr)$ .

Uitwerking implicatie opdracht 2

De formule die je moet afleiden is de implicatie $p\rightarrow\bigl((p\rightarrow q) \rightarrow q\bigr)$ . Daarom moet je meteen in regel 1 de hypothese $p$ stellen. De hypothese in de eerste regel en de hypothese $p\rightarrow q$ in de tweede regel maken de toepassing van de redeneerstap Modus Ponens in regel 3 mogelijk en levert de implicatie in regel 4 op. Het deelbewijs in regels 1 t/m 4 levert dan de implicatie formule op regel 5.

Toon aan dat $\vdash \bigl(p\rightarrow(q\rightarrow r)\bigr)\rightarrow \bigl((p\land q)\rightarrow r\bigr)$ .

Uitwerking implicatie opdracht 3

De formule die je moet afleiden is de implicatie $\bigl(p\rightarrow(q\rightarrow r)\bigr)\rightarrow \bigl((p\land q)\rightarrow r\bigr)$ . Daarom moet je meteen de hypothese $p\rightarrow(q\rightarrow r)$ stellen. Omdat de rechterkant van de implicatie $\bigl(p\rightarrow(p\rightarrow q)\bigr)\rightarrow \bigl((p\land q)\rightarrow r\bigr)$ ook weer een implicatie is, namelijk $(p\land q)\rightarrow r$ , moet je in de tweede regel weer een hypothese stellen en wel $p\land q$ . In regel 3 passen we hierop een $\land$ eliminatieregel toe om de proposititevariabele $p$ te verkrijgen want dan maken de hypothese in de eerste regel en de propositievariable $p$ in de derde regel de toepassing van de redeneerstap Modus Ponens in regel 4 mogelijk. In regel 5 passen we weer op de tweede hypothese een $\land$ eliminatieregel toe, maar nu om de proposititevariabele $q$ te verkrijgen. Opnieuw is de redeneerstap Modus Ponens mogelijk met regels 4 en 5. Dit levert in regel 6 de propositievariabele $r$ op. Die hebben we nodig om de introductieregel voor implicatie te kunnen toepassen voor het deelbewijs van regel 2 t/m 6. De deelconclusie in regel 7 is $(p\land q)\rightarrow r$ . Tenslotte passen we de introductieregel voor implicatie nogmaals toe om de eindconclusie af te leiden.

Toon aan dat $\vdash \bigl(p\rightarrow (q\land r)\bigr)\rightarrow \bigl((p\rightarrow q) \land (p\rightarrow r)\bigr)$ .

Uitwerking implicatie opdracht 4

De formule die je moet afleiden is de implicatie $\bigl(p\rightarrow (q\land r)\bigr)\rightarrow \bigl((p\rightarrow q) \land (p\rightarrow r)\bigr)$ . Daarom moet je meteen de hypothese $p\rightarrow (p\rightarrow (q\land r))$ stellen. De rechterkant van de implicatie $(p\rightarrow q) \land (p\rightarrow r)$ bestaat uit twee implicaties die ieder voor zich in een deelbewijs via de redeneerregel Modus Ponens afgeleid worden.