Disjunctie-redeneerregels

Propositielogica: Natuurlijke deductie

Disjunctie-redeneerregels

De introductieregel $\lor\,\mathrm{I}$ voor het connectief $\lor$ :

$\begin{array}{l|ll} \vdots & \vdots &\\ k &\varphi & \\ \vdots & \vdots & \\ l & \varphi\lor\psi & \lor\,\mathrm{I}, k \end{array}$

$\begin{array}{l|ll} \vdots & \vdots &\\ k &\psi & \\ \vdots & \vdots & \\ l & \varphi\lor\psi & \lor\,\mathrm{I}, k \end{array}$

Voorbeelden

$p \vdash p\lor q$	$\vdash p\rightarrow (p\lor q)$	$p, q, r\vdash (p\lor q)\lor r$
$\begin{array}{l\|ll} 1 & p & (\mathrm{P}) \\ 2 & p \lor q & \lor\,\mathrm{I}, 1 \end{array}$		$\begin{array}{l\|ll} 1 & p & (\mathrm{P}) \\ 2 & q & (\mathrm{P}) \\ 3 & r & (\mathrm{P}) \\ 4 & p\lor q & \lor\,\mathrm{I}, 1 \\ 5& (p\lor q)\lor r & \lor\,\mathrm{I}, 4\end{array}$

De eliminatieregel $\lor\,\mathrm{E}$ voor het connectief $\lor$ is op twee manieren op te schrijven; het is een kwestie van smaak of je introducties van de implicaties wilt toepassen of niet (wij prefereren dit wel omdat de twee implicatie-formules de deelbewijzen beter uit elkaar houdt, maar laten hieronder nog wel twee voorbeelden van de andere notatie zien):

$\begin{array}{l|ll} \vdots & \vdots &\\ k &\varphi\lor\psi & \\ \vdots & \vdots & \\ l & \varphi\rightarrow \chi & \\ \vdots & \vdots & \\ m & \psi\rightarrow \chi & \\ \vdots & \vdots & \\ n & \chi & \lor\,\mathrm{E}, k,l,m\end{array}$

Voorbeelden

$p\lor q, q\rightarrow r\vdash p\lor r$	$p\land q\vdash p\lor r$	$p\lor(q\land r)\vdash p\lor q$